化归思想方法在线性代数课程中的体现(谢红梅)

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1、稿件编号：7372化归思想方法在线性代数课程中的体现　谢红梅（石河子大学师范学院课程与教学系新疆石河子832003）收稿日期：2010-01-12基金项目：国家自然科学基金（批准号：11161040）作者简介：谢红梅（1967-）,女，甘肃民勤人，硕士，教授，主要从事代数学、应用概率论的教学科研工作。Email：xiehm_tea@sina.com摘要化归方法是“问题解决”的一种重要数学手段和数学方法，化归思想主要体现在运用数学方法处理和解决数学问题的过程之中．本文通过线性代数课程中的若干事例，浅析化归思想方法在解决线性代数问题中的具体体现．关键词线性代

2、数；化归；极大无关组；线性变换；矩阵的对角化．中图分类号O151EmbodimentofReductionThinkingMethodinLinearAlgebraXIEHong-mei(TeachersCollege,ShiheziUniversity,Shihezi,Xinjiang832003,China)Abstract:Reductionmethodisakindofimportantmathematicalmeansandmethodofproblemsolving,reductionthoughtsismainlyreflectedtopr

3、oblemsolvingprocessutilizingmathematicalmethods.Thispaperpresentstheconcreteembodimentsofreductionideasandmethodindealingwithproblemsoflinearalgebrabymeansofsomeexamples.Keywords:linearalgebra;reduction;maximumlinearlyindependentset;lineartransformation;diagonalizationofmatrix.1引

4、言在数学方法论中，化归方法是“问题解决”的一种重要手段和方法．所谓“化归”即指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或能轻易解决的问题，最终使原问题得以解决的手段和方法．化归的思想是数学问题解决中形成数学构想的方法论依据，化归思想主要体现在运用数学方法处理和解决数学问题的过程之中[1,2]．线性代数是大学数学中一门主要的基础理论课程，它以行列式和矩阵为工具，主要研究向量空间中向量间的线性关系、空间的线性结构和向量空间之间的线性映射．这门课程具有实用性、抽象性和高度思辨性的特点，为其他课程和应用领域提供了处理多元问题的工具、思想和方法

5、．线性代数课程中蕴涵有丰富的数学思想方法，如分类、变换、归纳、公理化、同构、类比和化归等思想方法．数学思想方法是数学的本质、数学的精髓，是联系各方面数学知识的纽带．而在课程、教材中，数学思想方法往往以隐形的方式出现，由具体的知识载体传播和呈现，它们蕴涵在数学概念、数学知识的发生、发展和应用的过程中．作为数学教师，应该具有在深层次上钻研数学教材的能力，不仅要熟谙数学知识，而且要深刻体会数学的思想方法，以使自己能够真正地驾驭教材，搞好教学工作．数学教学过程中，数学思想方法自觉的、有意识的体现，数学思想方法的运用、点拨提炼、归纳提升，能使施教者和受教者在不同层

6、面、不同程度上认识数学本质，提高数学能力．在这一过程中，教师和学生共同成长、发展，切实做到教学相长．本文将通过线性代数课程中的若干事例，浅析化归思想方法在解决线性代数问题中的具体体现．2化归思想方法的体现2.1向量组的极大无关组和秩对向量空间中向量间的线性关系、空间的线性结构的认知，关键在于对向量组的极大线性无关组、秩的理解和认识．向量组的极大无关组和秩是向量组本身固有的特性，它们不仅反映了向量组的线性构架，而且为向量组的应用提供了理论基础．向量空间中诸多问题的解决总会涉及到下述基本问题：例【1】求数域上维向量组的秩与极大无关组，并将该向量组中其余向量用

7、此极大无关组线性表出．解决这一问题的常规方法有三种：1．排除法，此法直接依据极大无关组的定义，从开始，对向量组自左至右依次把线性相关的向量排除掉，留下的就是极大线性无关组．尽管此解法思路很清楚，但向量个数稍多时，做起来比较繁琐和零乱．2．消元法，将向量组看成某个矩阵的行（列）向量组，用矩阵的行（列）初等变换，化矩阵为阶梯形矩阵，然后求解．这一解法的求解过程也较繁杂．3．矩阵的行（列）初等变换法，这一方法是化归思想方法的充分体现，也正是本文的一个关注点．大多数的线性代数教辅材料[3,4]都会介绍解法3，由于它易于操作．但从笔者多年的教学实践，学生通常知道如

8、何操作，而搞不清道理所在，学生往往是“知其然”而“不知其所以然”．本文将从“问题