第五届全国高中青年教师优秀课观摩与评比教案-《函数的单调性》教案(绵阳中学赵志明)

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1、高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家函数的单调性（教案）(绵阳中学数学组)赵志明一、教学目标：1、理解增函数和减函数的定义；2、会利用定义证明函数的单调性；3、了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；4、通过本节知识的学习，使学生理解数形结合等思想方法在分析解决问题中的作用,领会从特殊到一般,从直观到抽象,从感性到理性的数学思维方法。二、重点和难点:1、教学重点:函数单调性的概念和判断；2、教学难点:利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性。三、教学方法和手段:1、教学方法:采用探索发现

2、法和启发式讲解法；2、教学手段:利用多媒体直观、形象的动态功能，为函数单调性概念的理解提供直观、形象的认知基础;同时对函数在某一区间内的变化趋势进行动态演示，帮助学生理解。四、教学过程：（一）问题情境：(1)近六届世界杯进球数如下表：画成折线图：年份进球数199011519941371998171200216120061472010145　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　问题1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？(2)绵阳市某天的气温变化曲线图：问题2：随着时

3、间的变化，温度的变化趋势是？（上升？下降？）事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家规律，对我们的生活很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性。http://www.today.ks5u.com（板书课题）（二）建构定义:1、引入直观性定义：观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）4yy1-1x1o1x

4、0-11-22问题3:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）问题4:函数在区间　　　内y随x的增大而增大，在区间　　　内　　y随x的增大而减小；总结到一般情况下：在区间D内在区间D内图象图象特征从左到右，图象上升从左到右，图象下降数量特征y随x的增大而增大y随x的增大而减小教师说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，右边的函数则称为区间I上单调递减函数。2、严格数学语言定义：多媒体展示：图象在区间D内呈上升趋势当x的值增大时，函数值y也增大区间内有两个点、，当时，有问题5：若区间内有两点时，有，能否推

5、出是单调递增函数？www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。定义：一般地，设函数的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递增函数。由学生类比得到减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递减函数。注:(1)三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定；(2)相对于定义域，函数的单调性

6、可以是函数的局部性质。举例：在上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。(三)定义应用:例1、下图是定义在[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。2-4215431-1-2-1-5-3-23xo分析：动画演示，帮助学生理解。解：的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。其中在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；在[－2，1），[3，5）上是增函数。强调单调区间的写法：问题6：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？问题7：写成[－5，

7、－2）还是写成[－5，－2]？多媒体展示构造反例说明：（1）单调区间一般不能求并集；（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家例2、试判断函数在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？2：如何用定义法判定函数单调性？3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）证明：函数在（0，＋∞）上是增函数取值设是(0,＋∞)上的任意两个值,且，则作差变

8、形定号又，故，则，即：下结论因此，函数在（0，＋∞）上是增函数。总结定义法证明函数单调性的步骤：1、取值:设任意属于给定区间，且；2、作差变形:变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；3、定号:确定的正负号；4、下结论:由定义得出函数的单调性。思考题：在上面证明中，你能理解的任意性的意义吗？解答：有了