概率论与随机过程 复习参考南京大学概率论与数理统计

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1、概率论与随机过程复习参考概率基本概念1．需掌握概念：随机试验，样本空间。随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件，事件间的关系（包含，相等，和，积，差，互斥，互逆），完备事件组（全包含，不重复），运算律（德摩根律），事件的描述及转换。记数法则（乘法定理、加法定理），古典概型，抽样问题（可否放回、是否有序），分配问题，几何概型概率的性质，条件概率（两种理解方式），全概率公式，贝叶斯公式（先验概率，后验概率）。事件独立性，两两独立与相互独立2．公式，注意条件不变条件概率乘法定理全概率公式贝叶斯公式独立3．习题3设A,B是两件事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问：（1）

2、在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下Ｐ(AB)取得最小值，最小值是多少？解：，且取最小值，P(AB)取最大值，当时，=1取最大值，P(AB)取最小值，10在11张卡片上分别写上Probability，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。解：A…..样本空间，但由于正确排列中有重复字母正确排列的样本点数为11将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：3个球放入4个杯子有种放法（每个球有4种选择，共3只球）杯中最大个数为1：从4只杯中任选3只，每只杯中一个球，则杯中最大个数为2：从4只杯中任选

3、一只，从3只球中任选两只放入，剩余1球放入另外3个杯中的某一个中，则杯中最大个数为3：3只球放入4只杯子的任一个中17已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品（2）两只都是次品（3）一只是正品，一只是次品（4）第二次取出的是次品解：首先建模。设={第i次取出的是正品}={第i次取出的是次品}（）(1)(2)21已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：建模。设A={是男性}，B={是女性}C={是色盲}（全概率

4、公式）且34将A,B,C三个字母一一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其它一字母的概率都是，今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道，输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？解：设A={输入AAAA}B={输入BBBB}C={输入CCCC}H={输出ABCA}则由贝叶斯公式：随机变量及其分布1．需掌握概念复习下微积分公式（以及其他相关数学，比如随机过程要用的三角变换等）随机变量，分布函数，分布函数性质（不减、右连续、[0,1]，-∞，∞）离散型随机变量，分布律，性质（求和=1）。常见分布的分布律（0

5、-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，几何分布），二项分布→泊松分布，几何分布无记忆性连续型随机变量，概率密度函数，概率密度函数的性质（非负，积分=1），事件的概率，分布函数与概率密度的关系，常用的概率分布（均匀分布，指数分布，正态分布），正态分布性质，正态分布标准化求随机变量函数，一般方法（离散型、连续型），（分段）公式法2．公式3．习题4进行重复独立试验，设每次试验成功的概率位p，失败的概率为q=1-p(0

6、(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：(1)事件{X=k}表示前k-1次试验失败，第k次成功，因此X的分布律为(1)事件{Y=k}表示前k-1次中成功r-1次，第k次成功，因此Y的分布律为(1)事件{X=k}表示前k-1次投篮失败，第k次投篮成功，则X的分布律为X取偶数的概率5一房间有3扇窗户，只有一扇打开，有一只鸟要飞出房间，设它选择窗户是随机的，求：1）以X表示鸟飞出房间试飞的次数，求X分布律2）假设鸟有记忆，没扇窗户尝试次数不多于一次，以Y表示鸟飞出房间试飞的次数，求X分布律3）求P{

7、XY}12一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有8次呼唤的概率；(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率。解：设X为每分钟收到呼唤的次数则(1)(2)20设随机变量X的分布函数为(1)试求,,(2)求概率密度函数.解：(2)22(1)由统计物理学知，分子运动速度的绝对值X服从Maxwell分布，其概率密度为其中，k为Boltzmann常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A。(2)研究了项格兰在1875~1951年期间，在矿山发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程