初二整式方程期末复习

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1、第二十章代数方程一、整式方程知识与方法：1字母系数在关于x的方程中，其中a、b、c是表示已知数的字母，我们把字母a,b,c叫做字母系数。而这个方程就是含有字母系数的方程。例1解关于x的方程：（1）ax=x+a;(2)说明：（1）对于含字母系数的一元一次方程，在“系数化为1”这步之前一般应分情况讨论；对于含字母系数的一元二次方程，在“两边开平方”这步前一般也要分情况讨论（2）对于解含字母系数的一元整式方程，用含字母系数的式子去乘、除方程的两边时，这个式子的值不能为零。（3）在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，

2、由于负数没有平方根，因此，根号下面的式子不能小于零2一元整式方程如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程例2判断下列哪些方程是一元整式方程：说明：整式方程并不意味着方程中不能含有根号，分母等，关键是在于含有未知数的项是否都是整式3一元n次方程一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），这个方程就叫做一元n次方程。其中次数大于2的方程统称为一元高次方程。例3关于x的方程是一元几次方程？4二项方程如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，

3、那么这样的方程就叫做二项方程关于x的一元n次二项方程的一般形式为（，，n是正整数）例4解方程：说明：二项方程可变形为：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n为偶数时,如果ab<0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0,那么方程没有实数根。5双二次方程一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程关于x的双二次方程的一般形式为例5解方程：说明：解双二次方程的一般步骤：（1）换元；（2）解一元二次方程；（3）回代解双二次方程时注意理解“换元”的思想方法，体会“降次”的解题策略通过换元，

4、把双二次方程转化为关于t的一元二次方程。求出t的值后，不要忘记回代，继续求出未知数x的值拓展与提高：1用换元法巧解高次方程对于一个较复杂的方程，如果能根据方程的特征，把其中某些部分看做一个整体，用换元法来求解，有时能取得意想不到的效果例6解下列方程：（1）（2）说明：本题（*）方程左边的展开是利用了公式变形：而得到的，也可以直接利用完全平方公式把（*）方程左边展开，但比较麻烦。本例在考虑换元时，设=y，即x-1=y。这种换元法叫做“平均值换元法”。如果设x+2=y也可，但迭代换后计算会比较麻烦。想一想把原方程等

5、号左边第一、四个因式结合起来，第二、三个因式结合起来的目的是什么？想一想对于方程（***）还可令或吗？换元未必一定要把含有未知数的项都用其他字母代替，如本例中，经换元后，方程中同时含有字母y和x，此时可把原来的未知数x看作是已知数。练习：解方程二、可化为一元二次方程的分式方程知识与方法1分式方程如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程叫做分式方程。例1判断下列方程中哪些是分式方程？说明：在判断一个方程是否是分式方程时，一般不需要对方程进行整理，直接根据给出的方程形式进行判断想一想：方程与方程

6、x(x+1)=0有何不同？2解分式方程的一般步骤（1）在方程的两边同时乘以方程中各分式分母的最简分母，将分式方程化成整式方程；（2）求解整式方程；（3）验根：判断所求得的整式方程的根是不是分式方程的根（即代入最简公分母中看最简公分母的值是否为零）例2解方程：想一想：分式方程求解最后为什么要验根呢？说明：解分式方程的基本思路是化分式方程为整式方程，化分式方程为整式方程主要通过去分母的方法实现。求解分式方程的过程中，在方程两边同时乘以方程中各分母的最简公分母时可能会产生增根，解分式方程的最后一定要进行验根3分式方程

7、的根与增根把求得的整式方程的根代入最简公分母中，判断它的值是否为零。使最简公分母的值不为零的根是原方程的根；使最简公分母的值为零的根是增根。例3x=1是下列方程的增根吗？想一想：为什么在验根时，只要把整式方程的根代入最简公分母中就可以了？说明：分式方程的曾根应该是分式方程去分母后的整式方程的根，但不是原分式方程的根。如果某个未知数的值不是分式方程去分母后的整式方程的根，那么该未知数的值也不是原分式方程的根，也不能算做原分式方程的增根。解分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整式进行换元，换元时要注意分子、分母互

8、换的两个分式可以用一个新元和它的倒数来表示。4换元法在解分式方程中的运用有些方程，若按常规方法去解，所得到的整式方程比较复杂，不易求解，这是我们可以采用换元法，把原方程化为一个整式方程或一个简单的分式方程。例4解方程：说明：本题如果直接去分母的话，将是一个四次方程，比较复杂。故采用换元法，避免了出现高次方程的问题，实际上起到了“降次”的作用。由于是分式方程，所以求出来的根要及时进行检验