王祥富--函数综合

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1、2012年江苏省高中数学夏令营讲义——函数综合（一）1.设，关于的方程恰有一个实数根，求的值。2.已知函数的定义域。若值域为，求的取值范围。3.（2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛题）已知是正整数，关于的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于。求的最小值。4.（2009年辽宁省数学竞赛试题）设，若关于的不等式在区间上无解。（1）求的值；（2）求所有的实数对。5.对任意的实数，表示不超过实数的最大整数。证明方程没有实数解。6.设函数，，（1）当时，设，若直线轴，求两点间的最短距离；（2）当时，函数的图像恒在的图像的上方，求实数的取值范围。7

2、.（2010年湖北省竞赛题）对于一切，不等式恒成立。求实数的取值范围。8.（2002年全国高中联赛题）实数和正数，使得有三个实数根，且满足（1）；（2）。求的最大值。9.设为△ABC的三边得的长。若，求证：（1）；（2）。10.讨论函数的图像的对称性。11.（2007武大）已知函数，求证：。12.（2009清华），求证：。13.（2011北约）求的最小值。14.（2012卓越联盟）函数。（1）（），求证：；（2）如果有极小值，试证明。15.（第24届IMO试题）已知，且满足条件：（1）对任意的，有；（2）时，。试求函数。2012年江苏省高中

3、数学夏令营讲义——函数综合（二）16.已知方程在区间内有且仅有一个实数根，求的值。17.已知函数，。若存在，使得是的最大值，是的最小值，则满足条件的所有实数对有多少对。18..(2010年全国高中联赛题)已知函数，当时，。试求的最大值。19.（2010年四川省竞赛题）已知函数().（1）求函数的单调区间；（2）若对一切实数有，求实数的取值范围。20.已知关于的方程恰有一个实数根，求实数的所有可能值。21.（2009年全国高中联赛题）求函数的最大值和最小值。22.（2010年山东省竞赛题）求函数的图像的对称中心。23.（2012南开数学试点班

4、）已知曲线，斜率为的两条直线与交于A、B两点。（1）求证：AB中点在曲线上。（2）已知AB，求的值。24.（2010年河北省竞赛题）已知函数。（1）若曲线在点处的切线与有且只有一个公共点，求的值。（2）求证：函数存在单调递减区间，并求单调递减区间的长度的取值范围。25.（2010年希腊数学奥林匹克题）求所有的函数满足对于任意的，有，且在上严格单调。26.设，且，求证：。27.（2009年中国西部数学奥林匹克题）实数列满足，且，求最小的，使得对所有的，都有。28.（第31届IMO中国国家集训队测验题）设为奇数，也是自然数。证明：存在一个函数在

5、自然数集上是严格递增的，使得对每一个，都有。29.在平面直角坐标系中，如果轴与函数的图像一次交于A、B、C、D（自左向右排列），且线段AB、AC、AD能构成一个三角形，则称轴为曲线的一条“三角形线”。证明：与轴平行且与曲线交于四个不同点的直线必为曲线的三角形线。30.（2009年IMO50试题）求所有的从正整数集到正整数集上的满足如下条件的函数多所有的正整数，都存在一个以为边长的三角形。（非退化的）