线代强化训练答案(不含题目)

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1、考研数学复习教程线性代数强化训练（一）1．解：（A）。2.解：，所以3．4．5．6．方程组有非零的充分必要条件是7.8.9.，则10．，，，11．所以12．显然的所有特征值为，所以13．，解方程组，得14．解：，所以方程的根的为．15（2）其中，由范德蒙德行列式可知15．计算行列式（1）16．解：把矩阵分块为，其中，显然，可逆，且，所以全部代数余子式和等于伴随矩阵的所有元素之和，也就是．17．解：线性方程组的系数行列式为所以当时，方程组有非零解。18．解：系数行列式，所以当进，线性方程组有唯一解。，于是强化训练（二）1．解：由可知或，无论哪种情况都可得到AB可交换，所

2、以．2．设A，B都是可逆矩阵，则存在．3．解：由条件可知错误的是（C）4．解：5．6．，则（1）当时，显然，可判断出是一个不满秩的矩阵，当然行列式等于零．（2）当时，不能得到，也就不能确定行列式是否为零．7．设阶矩阵等价．则注意等价的充分必要条件是秩．（1）行列式．是错误的；（2），当然也是错误的（3）矩阵A，B必有同不为零的子式．这是正确的，这就是矩阵秩的定义．（4）若矩阵A不可逆，则B也不可逆．当然是正确的，因为值得注意的是，（3）（4）是正确的，但都是等价的必要条件，而不是充分条件．8．这考查初等变换和初等矩阵的知识通过观察可知矩阵经过两次初等列变换（注意这两次

3、初等变换可以交换次序）得到矩阵所以9．，若的秩为1，则解：注意结论显然此题当时，秩（舍）；当，秩符合题意．10．解：注意条件，可知．而已知而，则（1）当时，，可得到，可能为1，也可能为2；（2）当时，，可得到，只能为1．11．解：，则．12．解：，，所以13．解：，14．解：，15．设则，16．解：17．设三阶矩阵，，且，则18．已知向量，．若矩阵满足，则解：显然所以19．解：由条件可知（1）（2）所以20．解：显然A是可逆的，所以伴随矩阵也是可逆的，也就得到．而，所以21．解：显然有，且是可逆的所以22．解：，所以由于，所以可逆，也就是．23．解：用A右乘矩阵方程两

4、边，得再用同时左乘矩阵方程两边，得，也就是，得到了于是24．分析：其实就是求解线性方程组的两个线性无关的解解：基础解系为，所以注意：答案并不唯一．25．解：显然A是不可逆，否则若可逆，则，同理，也是不可逆的．于是解方程组此时，，且，所以．26．分析：由于本题需要求行向量组的一个极大无关组，故应该对A进行初等列变换，或者对进行初等行变换．解：对矩阵进行进行初等行变换当或时，．当时，A的第1，2，3行组成了行向量组的极大无关组．当时，A的第1，2，4行组成了行向量组的极大无关组．27．解：（1）．显然当时，矩阵可逆．（2）（分析）由于，所以矩阵可逆，，显然都是实对称矩阵，

5、所以也是实对称矩阵，当然也是实对称矩阵．证明：由于，所以矩阵可逆，于是有而为对称矩阵．28．解：（1）（2），显然不可逆．29．解：由可知，由于对于任意的实数，矩阵都可逆，则说明对于任意的实数，都不等于零，也就是判别式，也就是．30．证明：（1）对任意一个维列向量，有所以也就是正交；（2）假设不可逆，则齐次线性方程组存在非零解，也就是存在非零向量，使得，也就是，此时由（1）的结论与为非零向量矛盾，所以可逆；类似可证明可逆．（3）也就得到了，所以是正交矩阵．考研数学复习教程线性代数强化训练（三）一、选择题1．解：（D）是正确的．证明如下：（1）必要性：如果向量组线性无关

6、，假设存在一个向量存在向量能由其余向量线性表示，则，则，显然系数不全为零，所以线性相关，与条件矛盾．（2）充分性：如果每个向量都不能不能由其余向量线性表示．假设线性相关，由线性相关性的性质，则至少存在一个向量能由其余向量线性表示，与条件矛盾，所以向量组线性无关．2．解：显然（C）是线性相关性的定义，是正确的．3．解：由线性无关可知也是线性无关的，结合条件向量线性相关，则一定是向量的极大线性无关组，也就知必可由向量组线性表示，当然可由线性表示．所以（B）是正确的．4．解：经过初等行变换得所以可看出向量组的秩为．显然从最终的行阶梯形可看出的极大无关组的是或；而所对应的三阶

7、子式为，所以也是向量组的一个极大无关组；而所对应的三阶子式为，所以是线性相关的，不是向量组的极大无关组．5．分析：以下结论一定要掌握，经常考到．设维向量组能由维向量组线性表示为其中为矩阵，且向量组线性无关．则向量组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩，也就是矩阵的列向量组满秩．对于此题：选项（A）中：，所以是线性无关的．而对于（C）．所以（C）是正确的．6．解：（D）当然是正确的．当向量组的秩等于维数时，说明向量组是维向量空间的一组基，任意维向量可由线性表示．注意（A）选择项中，中任意个向量线性相关是正确的，但应该是存在一组个向量线性无关，而不是任意个向