小题专项集训(八) 平面向量

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1、小题专项集训(八) 平面向量(时间:40分钟 满分:75分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2013·西宁模拟)对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中的真命题是(  ).A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c解析 当向量a,b的夹角为直角时,满足a·b=0,但不一定有a=0或b=0,故A不正确;当a2=b2时,有(a+b)·(a-b)=0,但不一定a=b或a=-b,故C不正确;D中向量的数量积不能同时约去一个向量.综上,B正确.答案 B2.(2012·伽师二中二模)已知向量a=(1,1),b=

2、(2,x).若a+b与a-b平行,则实数x的值是(  ).A.-2B.0C.1D.2解析 由a=(1,1),b=(2,x),知a+b=(3,1+x);a-b=(-1,1-x);若a+b与a-b平行,则3(1-x)+(1+x)=0,即x=2,故选D.答案 D3.(2013·武汉期末)如图所示,已知=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是(  ).A.c=b-aB.c=2b-aC.c=2a-bD.c=a-b解析 由=2,得+=2(B+),即2=-+3,即c=b-a.答案 A4.若向量a与b不共线,且a·b≠0,且c=a-b,则向量a与c的夹角为(  ).A.0B.C.D.解析 因为c=a-b,

3、则有a·c=a·=

4、a

5、2-a·b=0.故两向量垂直,其夹角为.答案 D5.(2012·开封二模)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2D,=+λ,则λ=(  ).A.-B.-C.D.解析 如图所示,其中D,E分别是AB和AC的三等分点,以EC和ED为邻边作平行四边形,得=+=+,∴=.故λ=,所以选D.答案 D6.(2013·济南模拟)已知向量a=(1,-1),b=(1,2),向量c满足(c+b)⊥a,(c-a)∥b,则c=(  ).A.(2,1)B.(1,0)C.D.(0,-1)解析 设c=(x,y),则c+b=(x+1,y+2),c-a=(x-1,y+1),∴解得x=2,y=1.∴c

6、=(2,1).答案 A7.(2012·长沙质检)设A,B,C是圆x2+y2=1上不同的三个点,O为圆心,且·=0,存在实数λ,μ使得=λ+μ,实数λ,μ的关系为(  ).A.λ2+μ2=1B.+=1C.λ·μ=1D.λ+μ=1解析 由=λ+μ,得

7、

8、2=(λ+μ)2=λ2

9、

10、2+μ2

11、

12、2+2λμ·.因为·=0,所以λ2+μ2=1.所以选A.答案 A8.设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π,若

13、2a+b

14、=

15、a-2b

16、,则β-α=(  ).A.B.-C.D.-解析 由

17、2a+b

18、=

19、a-2b

20、两边平方整理,得3

21、a

22、2-3

23、b

24、2+8a·b=0.∵

25、

26、a

27、=

28、b

29、=1,故a·b=0,∴cosαcosβ+sinαsinβ=0,即cos(α-β)=0,∵0<α<β<π,故-π<α-β<0,∴α-β=-,即β-α=.答案 A9.(2011·辽宁)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则

30、a+b-c

31、的最大值为(  ).A.-1B.1C.D.2解析 由已知条件,向量a,b,c都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1,由a·b=0,及(a-c)·(b-c)≤0,可以知道,(a+b)·c≥c2=1,因为

32、a+b-c

33、2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c,所以有

34、a+b-c

35、2=3-2(a·c+b·c

36、)≤1,则

37、a+b-c

38、≤1.故选B.答案 B10.(2013·北京东城区期末)已知△ABD是等边三角形,且+=,

39、

40、=,那么四边形ABCD的面积为(  ).A.B.C.3D.解析 如图所示,=-=-,∴2=2,即3=2+2-·,∵

41、

42、=

43、

44、,∴

45、

46、2-

47、

48、

49、

50、cos60°=3,∴

51、

52、=2.又=-=,∴

53、

54、=

55、

56、=1,∴

57、

58、2+

59、

60、2=

61、

62、2,∴BC⊥CD.∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×22×sin60°+×1×=,故选B.答案 B二、填空题(每小题5分,共25分)11.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为________.解

63、析 由题意知ma-3b=λ[a+(2-m)b],∴解得m=-1或m=3.答案 -1或312.(2013·江西红色六校联考)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b,d=a-2b.如果c∥d,则k=________.解析 由题意可得c=k(1,0)+(0,1)=(k,1),d=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),如果c∥d,那么-2k-1=0,即k=-.答案 -13.(2012·安徽

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