讲稿4 误差的估算s

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1、第三节误差的估算由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。一、直测量的误差估算1．算术平均误差

2、在测量列中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为。按定义或其中。当n较大时，可用下式估算为此法比前法得到的偏差要大些。2.绝对误差误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的，。而广义的绝对误差还有后面要讨论的，，，Q等。3.相对误差绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为。其估算方法为广义地讲，后面要讨论的、等都可叫相对误差。4.标准误差(实验标准差)按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为。即需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。实际上，由于真值无法获

3、得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel法等，它们的估算结果基本一致。应用上，一般使用Bessel方法。由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel标准偏差的计算公式(Bessel公式)为：或即最后是用代替。通常所说的标准误差，实际上就是。5.算术平均值的标准差算术平均值的标准差与实验标准差的关系为类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系而且。二、间测量的误差计算（误差的传递）上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此基础上我们可以进一步

4、讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。1.误差传递公式的一般形式设间接测量量与彼此独立的直接测量量、、(只取3个)间的函数关系为测量结果用平均值和绝对误差表示为和其中,。将在点按泰勒级数展开有+…(高阶小量)将此结果与前面假定关系式比较，忽略高阶小量，并考虑到误差传递中通过组合可能产生的最大值，取间测量的绝对误差为相对误差为根据标准差的定义，由

5、上述展开式，在考虑到是彼此独立的情况，可得标准差的传递公式的绝对形式为 相对形式为其中、分别为、在点处的值。为了较好地使用标准误差的传递公式，需要说明的是：(1)如果由按加(减)关系确定时，常用标准误差传递的绝对形式计算。(2)如果由按乘(除)关系确定时，常用误差传递的相对形式计算。(3)如果彼此不独立，还需计算相关系数(协方差)。例如：若，当（仅数值相等）时的误差传递，与取（与完全相关）后的误差传递是不一样的。因为，当时有，再取时，化为。而当时。可见，前者在取时，仅为数值上相等，而它们仍是彼些独立的两个变量；而后者，则为完全

6、相关，即与为同一个变量了，故结果也不一样了。2．误差传递公式的具体形式为了实际计算方便，我们将一些常见函数关系确定的误差传递公式列于下表。函数关系一般误差传递公式标准差传递公式误差传递的实际例子 　　1．　　　　　（1）2．　　　　　（2）　　　　　　　　　　　　　　　　（3）　　3．　　　　　　　　　　　　　（4）　　　　　　　　　　　　　（5）（3）和（5）式表明，当函数形式为积和商的形式时，其相对误差为各自变量的相对误差之和。　　4．　　有　　　　　　　　　　　　　（11）　　5．　　有　　　　　　　　　　　　　（12）熟悉微积

7、分的同志很容易得出上述各式。　　下面再讨论几个实验的例子。　　例1．单摆法测重力加速度的公式　　我们由公式直接讨论，微商取绝对值，　　因而　　　　　　　　　　　　（13）　　相对误差　　　　　　　　　　　　　　（14）　　例2用万有引力实验器测定万有引力的公式，式中r为大小铅球的中心距离，d为扭秤臂长，S为亮点最大位移量，M为大铅球的质量，T为振动周期，L为凹面镜到刻度尺的距离。其中r、d、M可认为是定值常数（当然也可测量），S、T、L是实验中的待测量。　　现在我们直接用相对误差的计算公式并且将分母中的自变量看作是与指数为负数的函数相

8、乘，即。因此有。由上式可以很容易算出相对误差，然后算出平均绝对误差。　　本节内容只要有微分学的知识就能掌握，标准误差的传递等内容这里就不介绍了。