课题：无穷等比数列各项的和

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1、课题：无穷等比数列各项的和上海南汇中学严永芳教学目标：1、理解无穷等比数列各项和的含义，掌握无穷等比数列各项和的公式，会求无穷等比数列各项的和；2、会用无穷等比数列各项和解决相关问题；3、体会用极限的思想来解决无穷等比数列的求和问题，感悟用有限来刻画无限，深刻体会有限和无限的区别和联系；4、通过等比数列各项和的探究过程培养学生的合作能力和探究能力。教师说明：本节课通过解决循环小数的加乘运算引入课题，通过对化为分数展开课题。在探究无穷等比数列各项和的方法中，采用类比的思想，若用类似于推导等比数列的前项和公式的“错项相减法”，得到无穷等比数列的各项和的公式

2、将引发出一个悖论。通过对悖论的思考，探究出用极限的办法来推导无穷等比数列的各项和公式。让学生体验“等比数列有限求和”与“等比数列无限项求和”的区别与联系，体验用有限来刻画无限。结合教学目标，作为无穷等比数列的一个的应用循环小数贯穿始终，通过解决将化为分数的问题达到教学目标1、2、3，并在学生“问题引入—探索—质疑—再探索—解决—应用”的过程中培养学生的合作能力和探究能力，特别是在解决化为分数中等比数列“无限项”的求和和等比数列的前n项和的联系过程中将教学难点、重点实现层层细化，真正达到学生体验、发现知识的全过程。教学重点、难点：无穷等比数列各项和公式的

3、推导。教学过程：一、引入新课1、由=？=？的计算与分数计算的类比得到“如何将循环小数化为分数”。2、由循环小数化为分数引入课题。以为例，由循环小数的定义这是无穷等比所有项的求和引出这节课学习的内容：无穷等比数列各项的和。教师说明：由自然数的运算引出有理数的运算，在分数运算的计算过程中学生对此都表示绝对没问题，紧跟其后的=？=？运算顿时使学生傻了眼，使学生产生已有知识水平和问题解决之间的冲突，由需求进而激发将循环小数化为分数的思考，由此引出课题。这样设置引入符合学生的认知规律，很能调动学生的求知欲望。二、概念形成（一）体会有限和无限的区别1、让学生讲出在

4、小学阶段将化为分数的方法。令2、这是类似与等比数列前项求和中的“错项相减法”。问：此方法对一般的无穷等比数列求和适用吗？3、由这个数列引发悖论。让学生体会有限和无限的区别。引发学生寻找解决无穷等比数列各项和的新的办法。教师说明：引导学生回顾小学阶段将“循环小数化为分数”的方法，基础比较好的学生能够用已有的公式（类似与等比数列前项求和中的“错项相减法”）将化为分数，教师随即用一个悖论引发学生认知上的冲突。这不仅使学生体会有限和无限的本质区别，也让学生认识到已有的公式有其局限性，产生想找到一种更好的办法和方式解决上面问题的迫切想法。“悖论”的选取使学生自然

5、而然地有一种更进一步的探求的欲望。过程实现“解决-质疑-探求”的学习链中。（二）体会有限和无限的联系1、化为分数中观察等比数列“无限项”的求和和等比数列的前n项和的联系，引导发现。教师说明：提示学生在解决等比数列所有项求和时，最容易想到什么？学生基本上回答：等比数列前n项和。进一步提问：这两者有什么联系呢？对于用等比数列有限项的和来刻画无限项的和，这是这节课的一大难点，教师在学生的探究碰到障碍时给予一点台阶：在学生有了一点方向但略有茫然时，教师通过将等比数列的前n项和由的计算使学生在合作学习中发现这和学习的数列极限有一定的联系，从而得到探究结果，从中培

6、养了学生的合作学习能力和探究能力。2、由上面的方法可得用的极限刻画无穷等比数列各项的和得到并得到定义：定义：我们把的无穷等比数列前n项的和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，即S=()。①无穷等比数列前n项和与它的各项和S的区别与联系。②求和前提：3、分析前面的“悖论”产生的原因。教师说明：在学生自己探究过程中得到定义和公式，让学生体验了发现的全过程，在教师分析和指出两个注意点的基础上，回过头分析悖论产生的原因就能使学生完全接受了，也让学生更进一步体会有限和无限的区别和联系，实现学生问题的最终解决。三、举例应用例1：（1）；（2）；（3）；

7、练习：计算（1）=；（2）=；（3）；（4）。教师说明：由于本节课的教学重点、难点在“无穷等比数列各项和公式的推导”上，所以这节课在公式推导上化了很大时间。本节课例习题的设置主要围绕无限循环小数展开，不拘泥于课本，对课本的例题做了很大的改动，对于等比数列各项和公式的灵活应用、实际应用和其他应用将放在第二节课上。练习的选取回归到引例，不仅使学生应用了公式，也让解决了学生的困惑和问题。四、师生共同小结1、无穷等比数列各项的和公式：S=()；2、利用无穷等比数列各项和的公式进行相关计算；3体会用有限刻画无限，由已知认识未知的数学思想。教师说明：由师生共同完成

8、所学内容的小结，理清本节课的重点，以便使学生掌握系统的结构，锻炼学生的表达、归纳、概括能力，提