构造等腰三角形解题的常见途径

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1、构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形　　当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则△ACE是等腰三角形；如图1②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，则△ADE是等腰三角形；如图1③中，AD平分∠BAC，CE∥AB，则△ACE是等腰三角形；如图1④中，AD平分∠BAC，E

2、F∥AD，则△AGE是等腰三角形．图1①ADCBE②ECBDABACDE③④ABFCDEG例1　如图2，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F．求证：．AE＝AP．图4FCDEBAM简析　要证．AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以AD∥EF，所以可得到△AEP是等腰三角形，故AE＝AP．CABEDO图3图2FBACDPE例2　如图3，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平

3、分线相交于点O，过点O作DE∥-5-AC，分别交AB、BC于点D、E．试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜想理由．简析　猜想：AD+CE＝DE．理由如下：由于OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的平分线，DE∥AC，所以△ADO和△CEO均是等腰三角形，则DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DE．例3　如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC．求证：EF∥AB．简析　由于这里要证明的是EF∥AB，而AD平分∠BAC，所以必须通过辅助线构造出平行线

4、，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE＝CD的提示下，相当于倍长中线，即延长AD至M，使DM＝AD，连结EM，则可证得△MDE≌△ADC，所以ME＝AC，又EF＝AC，∠M＝∠CAD，所以∠M＝∠EFM，即∠CAD＝∠EFM，又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠EFD＝∠CAD，所以EF∥AB．二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形　　当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，则△AEC是等腰三角形．E图5ABCD图6BFDECA　　例4　

5、如图6，已知等腰Rｔ△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D．求证：BF＝2CD．　　简析　由BF平分∠ABC，CD⊥BD，并在图5的揭示之下，延长线BA、CD交于点E，于是△BCE是等腰三角形，并有ED＝CD，余下来的问题只需证明BF＝CE，而事实上，由∠BAC＝90°，CD⊥BD，∠AFB＝∠DFC，得∠ABF＝∠DCF，而AB＝AC，所以△ABF≌△ACE，则BF＝CE，故BF＝2CD．-5-三、利用转化倍角，构造等腰三角形　　当一个三角形中出现一个角是

6、另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．如图7①中，若∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；如图7②中，若∠ABC＝2∠C，如果延长线CB到D，使BD＝BA，连结AD，则△ADC是等腰三角形；如图7③中，若∠B＝2∠ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形．图7BCDA①②BCDA③BCDAE图8CBAD　　例5　如图8，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC．求证：∠A＝90°．

7、　　简析　由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对∠ACB＝2∠B进行技术处理，即作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E，则由∠ACB＝2∠B知∠B＝∠BCD，即△DBC是等腰三角形，而DE⊥BC，所以BC＝2CE，又BC＝2AC，所以AC＝EC，所以易证得△ACD≌△ECD，所以∠A＝∠DEC＝90°．　　说明　本题也可以利用图7的②、③来构造等腰三角形求解．手脑并用巧解题-5-湖北　　毕保洪　　随着《课程标准》深入实施：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实验、

8、自主探索与合作交流成为学习的重要方法”．因此，以等腰三角形为背景的动手操作、动脑设计的手脑并用的中考题悄然兴起．　　一、模拟画图　　例1　已知在如图1的△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图1，请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）．　　解：如图4、图5、图6、图7