中考压轴题之中点问题

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时间:2018-09-15

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1、中考压轴题之中点问题解题思路:几何问题一般是添加辅助线构造全等三角形。涉及到中点问题通常有以下三种思路:(1)找中点使之成为中位线构造全等三角形。(2)倍长中线法构造全等三角形。(3)直角三角形中取斜边中点,斜边中线为斜边的一半。总之核心就是能构造出全等三角形,则思路正确。2012丰台二模1、在△ABC中,D为BC边的中点,在三角形内部取一点P,使得∠ABP=∠ACP.过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F.(1)如图1,当AB=AC时,判断的DE与DF的数量关系,直接写出你的结论;(2)如图

2、2,当ABAC,其它条件不变时,(1)中的结论是否发生改变?请说明理由.图1图2192012朝阳二模2、如图,D是△ABC中AB边的中点,△BCE和△ACF都是等边三角形,M、N分别是CE、CF的中点.(1)求证:△DMN是等边三角形;(2)连接EF,Q是EF中点,CP⊥EF于点P.求证:DP=DQ.同学们,如果你觉得解决本题有困难,可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考:小聪同学发现此题条件中有较多的中点,因此考虑构造三角形的中位线,添加出了一些辅助线;小慧同学想到要证明线段相等,可通过证明三角

3、形全等,如何构造出相应的三角形呢?她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置.192012海淀二模3、在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上(点E、C不重合).(1)如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点,试探究BN与NE的位置关系及的值,并证明你的结论;(2)如图2,且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的两个结论是否成立,若成立,加以证明;若不成立,请说明

4、理由;(3)如图3,若点M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的结论两个是否成立,请直接写出你的结论.FA(M)DNDACEDNMBFECBFNMECBA图1图2图3192012海淀一模192012西城一模已知:在如图1所示的锐角三角形ABC中,CH⊥AB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,AC边上一点E满足∠EDA=∠A,直线DE交直线CH于点F.(1)求证:BF∥AC;(2)若AC边的中点为M,求证:;(3)当AB=BC时(如图2),在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图2中所有与BE

5、相等的线段,并证明你的结论.图1图2192012丰台一模已知:△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,联结EC,取EC的中点M,联结BM和DM.(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系是;(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.192009北京中考问题:如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结.若,探究与的位置关系及的值.小聪同学的思路是:延长交于

6、点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.(3)若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示).解:(1)线段与的位置关系是;.(2)1920

7、12昌平二模8、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,过点B作BD⊥AC于D,BE平分∠DBC,交AC于E,过点A作AF⊥BE于G,交BC于F,交BD于H.(1)若∠BAC=45°,求证:①AF平分∠BAC;②FC=2HD.(2)若∠BAC=30°,请直接写出FC与HD的等量关系.9.(2012石景山一模)(1)如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,M是AB的中点.直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系;(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,AB=2BC,M是AB的中点,过C作CE⊥AD

8、与AD所在直线交于点E.①若∠A为锐角,则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系,并证明你的结论;②当时,上述结论成立;当时,上述结论不成立.图1图21910(2012顺义一模)1911(2011朝阳一模)已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,点M是CE的中点,连接BM.(1)如图①,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与BM的数量关系为;(2)如图②,点D不在AB上,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明

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