第2章 各向异性材料的弹性应力-应变关系课件

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1、第2章　各向异性材料的弹性应力－应变关系2.1　引言2.2　各向异性材料的应力－应变关系2.3　正交各向异性材料的应力－应变关系2.4　横观各向同性材料与各向同性材料2.5　正交各向异性材料弹性常数的物理意义2.6　正交各向异性材料工程常数的取值范围2.7　单向板的应力－应变关系2.8　广义正交各向异性单向板的表观工程常数2.9　结论与讨论平衡方程注：以上关系与各向同性体相同2.1　引言几何关系方程物理方程(本构关系)Hooke定理：记作{}=[C]{}，[C]—刚度矩阵，可以证明，[C]是对称矩阵，因此它只有21

2、个独立变量。同样，[S]也是对称矩阵，它也有21个独立变量。同样，可用应力分量表示应变分量：[S]＝[C]-1—柔度矩阵。2.2　各向异性材料的应力－应变关系2.2.1　应力－应变关系、刚度矩阵2.2.2　刚度矩阵的对称性2.2.3　柔度矩阵2.2.4　各向异性材料的耦合效应式（２）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应变的一般关系式．式（２）中的系数　　　　　　　　称为弹性常数，共有３６个．2.2.1　应力－应变关系、刚度矩阵由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时

3、，必产生同样的应变，反之亦然．因此　为常数，其数值由弹性体材料的性质而定．式（２）推导过程未引用各向同性假设，故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、二维各向同性体以及各向同性体等．式(3)可用简写为称为弹性矩阵.式（２）可用矩阵表示如在均匀体内,任意一点都存在着一个对称面,在任意两个与此面对称的方向上,材料的弹性性质都相同。称为具有一个弹性对称面的各向异性体。该对称面称为弹性对称面,垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。具有一个弹性对称面的各向异性体,弹性常数有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。2

4、.2.2　刚度矩阵的对称性如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面,这种物体称为正交各向异性体。如:煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料等正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为(本构关系)Hooke定理：记作{}=[C]{}，[C]—刚度矩阵，可以证明，[C]是对称矩阵，因此它只有21个独立变量。2.2.3　柔度矩阵同样，[S]也是对称矩阵，它也有21个独立变量。同样，可用应力分量表示应变分量：[S]＝[C]-1—柔度矩阵。2.2.4　各向异性材料的耦合效应(1)正应力不仅要引起线应变，同时还要引起切应

5、变；而切应力不仅引起切应变，还要引起线应变。(2)一个平面内的切应力不仅引起本平面内的切应变，同时还要引起与其垂直的另外平面内的切应变。2.3　正交各向异性材料的应力－应变关系2.3.1　具有一个弹性性能对称面材料的应力－应变关系应变势能密度为：如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A’为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z轴转到z’轴时，应力应变关系不变。此时：z=-z’，w=-w’，为保证W值不变,将含有xz和yz(4与5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立变量。同理：2.3.2正交各向异性材料如

6、果具有三个正交弹性对称面，则：只有九个独立系数2.4.1横观各向同性材料各向同性面—在该平面内，各点的弹性性能在各方向上相同。假定：1，2，3都是弹性主轴，1－2面是各向同性面。则：S11=S22，S13=S23，S44=S55，C11=C22，C13=C23，C44=C552.4　横观各向同性材料与各向同性材料又设某点应力状态：1=，2=－，4=5＝6，有将1、2坐标轴在面内转450到1’、2’，则1’=2’＝3’＝0，6’＝1’2’＝－，2’3’＝3’1’＝0：则：S66＝2(S11–

7、S12)只有五个独立系数2.4.2各向同性材料如果材料任一点、任一方向弹性特性都相同。有：C11=C22=C33，C12=C13=C23，S11=S22=S33，S12=S13=S23，只有三个独立参数，可以用E、、G表示。实际上只有两个，因为E、、G之间有关系。2.5正交各向异性材料的工程弹性常数的物理意义单独在j方向有正应力时i方向上应变与j方向应变之比的负值工程常数是指弹性模量Ei,泊松比ij和剪切模量Gij，这些常数由实验测定。分别在各弹性主方向有作用力时的应力应变之比对正交各向异性材料：2.5.1　单轴

8、拉伸试验图2-3　单轴拉伸试验因为[S]是对称的，所以对于各向同性材料：E>0，G>0,-1<<1/2对于各向异性材料，考虑到应变能W>0，所以[C]和[S]必须正定。一般EiEj，所以，ijji。因此共有九个参数。矩阵正定的定义：特征值都大于零的实对称矩阵。充分必要条件：所有主子式都大于零Ai>0(i=1,26)主子