岩石冲击破坏的流形元与有限元模拟对比分析

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1、岩石冲击破坏的流形元与有限元模拟对比分析吕树进1，吕淑然2，刘红岩3(1．保定学院数学与计算机系，河北保定071000；2．首都经济贸易大学安全与环境学院，北京100026；3．中国地质大学(北京)工程技术学院，北京100083)摘要：流形元是新出现的一种被较为广泛地应用于材料破坏模拟的数值分析方法。为了验证该方法在材料破坏模拟中的有效性，分别利用流形元与有限元两种不同的数值方法对岩石冲击破坏过程进行了模拟分析。模拟结果表明，流形元法对材料破坏的模拟结果更符合实际情况，这主要是由于该方法采用了两种不同的

2、覆盖系统——数学覆盖和物理覆盖，并引入能够客观反映材料裂纹的产生与扩展准则，以及相应的块体运动理论。流形元的出现有望对材料破坏模拟开创出一条新的途径。关键词：岩石冲击破坏；数值模拟；流形元；有限元；对比分析1引言自1960年Clough最先在进行飞机结构分析时提出有限元以来[1]，数值计算方法就开始在工程结构分析、流体分析及场分析等众多领域中得到广泛的应用，同时数值方法本身也得到不断的发展与完善。目前从种类上来说，主要包括有限元法、离散元法和流形元三类。这三类数值方法在实际应用中各有一定的优缺点，如有限

3、元法在求解连续介质发生连续变形时非常有效，而离散元法在求解非连续材料发生非连续变形时非常有效。然而随着生产实践的发展，又提出了一些更新的问题如初始完整性很好的材料在外力作用下产生破坏的过程模拟等，由于有限元法是以连续性为基础，它在模拟材料破坏方面有着不可克服的困难，于是就采用一种近似的方法来模拟材料的破坏，即以某一物理量作为材料的破坏准则，如应力、应变或损伤等，然后确定一个阈值，当某单元的该物理量的值超过阈值时就认为该单元已经破坏，即把该单元从整个结构中删除，实际上是把单元的质量、刚度等乘以一个很小的数

4、值，使该单元不参加以后的计算。这种方法在目前的计算中也得到了一定的应用[2-4]，但其显然是一种近似的方法，也可以说是有限元为弥补其在材料破坏模拟方面的不足而采用的一个补救措施，与实际情况存在着一定的差距。同样尽管离散元法在模拟材料的破坏方面有着巨大的优势，但是它却不能模拟新裂纹的产生，尽管目前也有不少学者采用虚拟裂纹的方法来模拟完整材料或部分完整材料破坏过程，并取得了良好的效果[5]，但显然这也是一种近似的方法。于是流形元即数值流形方法(NMM)就应运而生，该方法是由美籍华人石根华博士继提出不连续变形

5、分析方法(DDA)之后，又提出的一种新的数值方法[6]。虽然该方法是在20世纪90年代初才被提出，但由于其在模拟材料破坏方面具有明显的优越性，一开始就吸引了众多学者的关注。到目前为止，该方法已在材料破坏模拟分析中得到了成功应用[7,8]；同时该方法在块体运动模拟方面，完全吸收了DDA中关于块体运动的理论，能够很好地模拟块体破坏后的飞散过程，这一重大进展对以连续介质为基础的有限元法来说是一个重大的突破，克服了在利用有限元法计算时仅能给出待分析域内应力分布，而不能模拟其破碎及破碎后块体运动等情况的不足。目前

6、关于流形元模拟材料破坏、运动等方面已有不少的相关研究成果发表。但是至今还没有看到关于有限元与流形元的相关对比研究成果发表，如果能够采用这两种方法对同一问题进行分析研究，则更能够很好地反映出它们之间的相互关系及各自的优缺点，因此本文就采用这两种方法对岩石冲击破坏过程进行模拟研究，并对其模拟结果进行了对比分析。2两种数值方法的动力学求解格式岩石在冲击载荷作用下的破坏问题属于明显的断裂动力学问题。断裂动力学就是研究那些惯性效应不能忽略的断裂力学问题[9]，其求解方法明显不同于断裂静力学问题，它们的一个最重要的

7、区别就是材料的惯性效应不能忽略，考虑了惯性效应的断裂力学就是断裂动力学或动态断裂力学。在动态加载时，试件除产生弹塑性变形外，内部各质点的自由振动要获得一定的加速度，从而产生惯性力，这就是所谓的动态加载时的惯性效应。在动力问题的分析中，数值流形方法引入了惯性矩阵，它相当于有限元方法中的质量矩阵，以充分考虑动力学问题中的惯性效应。数值流形方法在处理动力学问题时，与处理静力学问题相比的一个最大差别就是在当前步的计算中，各单元继承了前一时间步的速度，而不是像处理静力学问题一样置当前时间步的速度为零。而这种处理方

8、法对一般动力学问题来说过于简单，并且这种处理方法也仅仅考虑了单元的惯性效应，而没有考虑单元的阻尼，所以还不够精确。因此这里采用的数值流形方法计算程序是借用动力有限元法的求解思想，利用动力有限元中的Newmark方法改进后的数值流形方法计算程序，改进的原理及改进后的程序优越性已在相关文献中进行了论述[7]。有限元的动力计算方法同样是采用瞬态动力分析Newmark方法。3数值流形方法的计算原理由于目前数值流形方法在实际中的应用还不是太广泛，所以