利用双线性变换求其离散传递函数

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1、1设计背景11.1设计目的11.2设计内容和要求11.3设计工作任务及工作量的要求12双线性变换及其原理22.1双线性变换的定义22.2双线性变换的原理22.2.1公式的推导22.2.2公式的验证22.2.2设计步骤42.3双线性变换的主要特性63计算机实现程序框图74理论计算85程序验证106结果分析11参考文献13附表程序清单14171设计背景1.1设计目的本课程设计以自动控制理论、现代控制理论、MATLAB及应用等知识为基础，利用双线性变换求连续系统对应的离散化的系统，目的是使学生在现有的控制理论的基础上，学会用MATLAB语言编写控制系统的离散化的程

2、序，通过上机实习加深对课堂所学知识的理解，掌握一种能方便地对系统进行离散化的设计工具。1.2设计内容和要求1在理论上对连续系统采用双线性变换求离散化推导出算法和计算公式。2画出计算机实现算法的框图。3编写程序并调试和运行。4以下面的系统为例，进行计算。已知系统闭环传递函数，利用双线性变换求其离散传递函数。5分析运算结果（离散化步长对系统性能的影响）。6程序应具有一定的通用性，对不同参数能有兼容性。1.3设计工作任务及工作量的要求1本次课程设计要求每周学生至少见指导教师4次，其中集中辅导答疑部不于3次。2设计说明书的格式按设计说明书格式要求，采用word软件排

3、版，计算机打印。（具体包括：封皮、目录、正文、参考文献等）3程序清单用A4纸打印后，作为附录订装在说明书后面。4框图和其他图表放在正文中。172双线性变换及其原理2.1双线性变换的定义双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。2.2双线性变换的原理2.2.1公式的推导双线性替换公式（或称“突斯汀（Tustin）”公式），它可以从梯形积分公式中直接推导出来。按这种替换公式进行替换，可以保证G(z)的稳定性，而且，具有一定的仿真精度。已知梯形积分公式为：即：则有：即：（2.1）（2.1）式称为双线性替换公式，也可写成为（

4、2.2）2.2.2公式的验证由（2.2）式可得,（2.3）由（2.3）式可知，若<0，则<1；若＝0，则＝1，而若>0，则>1。这就是说，若采用（2.1）式的替换公式，Z平面上的单位圆，映射到S平面上将是整个左半平面，其逆也真，如图2.1所示。因此，利用（2.1）式的替换公式，如果原来G(s)稳定，那么G(z)也是稳定的。例如，假定传递函数17图2.1双线性变换的映射关系（2.4）则根据（2.1）式进行替换，得：＝（2.5）将（2.5）式写成差分方程式，得（2.6）为了说明利用双线性替换公式（2.1）式所得的仿真模型具有一定的精度，我们用频率分析法来分析一下

5、G(s)与G(z)两者之间的误差。根据（2.4）式的G(s)，用代入，可得：（2.7）它的幅度与相频的具体数据如表2.1所示。对于（2.5）式所示的G(z)，同样可以用代入，可得：（2.8）用代入，同样可以求出它的幅频特性与相频特性。当T＝1s时，它们的具体数值也列于表2.1中。比较表2.1中的两组数据可知：当T＝1s时，由G(s)与G(z)所获得的频率特性在rad/s之内二者是十分接近的17(幅频的误差仅1.5%，相频的误差在5°之内)。这说明，用双线性替换公式所获得的仿真模型不仅稳定，而且有一定的仿真精度。表2.1用双线性替换法所获得的仿真模型与实际连续

6、系统的比较ω(rad/s)0.10.30.60.81.01.21.5幅频特性连续系统0.099010.27520.44120.48780.500.49180.4615线性化替换法0.09910.2770.4470.4930.4980.4760.417相频特性连续系统748.58°56.60°28.0712.680-10.39-22.62线性化替换法78.57°56.3626.519.57-5.06-17.67-33.562.2.2设计步骤双线性替换不仅可以获得精度极爱搞的仿真模型，而且能利用计算机程序来实现这种替换。下面来介绍一种程序替换法。设线性系统的传递

7、函数为（2.9）在双线性替换下得到的Z传递函数为：（2.10）现需要由ai，bi(i=0，1，…，n)确定di，ei(i=0，1，…，n)，若直接将双线性替换公式代入，可得：将其分子、分母同乘以，可得：=将，写成向量形式17由于，，…，均为n阶多项式，可得到：矩阵为（n+1）×(n+1)阶；其中第一行诸元素为的展开式的各系数，第一列诸元素为1，阶次n确定后，这些元素均为已知，并可以证明，其余n×n个元素可由下式求得：i，j=1，2,…，n（2.11）从而可得：diag17diag这样就得到了分子分母的各系数的表达式：（2.12）（2.13）其中，（2.14）

8、2.3双线性变换的主要特性①若D(s)稳定，则D(z