第九篇 第4讲 椭圆

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1、第4讲椭圆A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则

2、PF2

3、＝(　　)．A.B.C.D．4解析　a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以

4、PF1

5、＝，根据椭圆定义：

6、PF1

7、＋

8、PF2

9、＝2a，所以

10、PF2

11、＝2a－

12、PF1

13、＝2×2－＝.答案　A2．(2012·江西)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若

14、

15、AF1

16、，

17、F1F2

18、，

19、F1B

20、成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)．A.B.C.D.－2解析　因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以

21、AF1

22、＝a－c，

23、F1F2

24、＝2c，

25、F1B

26、＝a＋c.又因为

27、AF1

28、，

29、F1F2

30、，

31、F1B

32、成等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.所以离心率e＝＝，故选B.答案　B3．(2013·榆林模拟)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是(　　)．A.B.C.∪D.∪解析　椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时，e2＝1－∈，解得m>；当0

33、范围是∪.答案　C4．(2012·温州测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点.·＝0且·＝2，则该椭圆的离心率是(　　)．A.B.C．3－D．3＋解析　因为·＝0，且·＝·(－)，所以·＝2，所以

34、

35、＝

36、

37、＝c，所以

38、

39、＝c，且∠AOF＝45°，设椭圆的右焦点是F′，在△AOF′中，由余弦定理可得AF′＝c，由椭圆定义可得AF＋AF′＝c＋c＝2a，即(1＋)c＝2a，故离心率e＝＝＝.答案　A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·青岛模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为____

40、____．解析　抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.答案　＋＝16．(2013·佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：＋＝1的离心率为________．解析　由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝.答案　三、解答题(共25分)7．(12分)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，·＝0，若

41、椭圆的离心率等于.(1)求直线AO的方程(O为坐标原点)；(2)直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．解　(1)由·＝0，知AF2⊥F1F2，∵椭圆的离心率等于，∴c＝a，可得b2＝a2.设椭圆方程为x2＋2y2＝a2.设A(x0，y0)，由·＝0，知x0＝c，∴A(c，y0)，代入椭圆方程可得y0＝a，∴A，故直线AO的斜率k＝，直线AO的方程为y＝x.(2)连接AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知，S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，∴·2c·a＝4.又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16－8＝8.故椭圆方程为＋＝1.8．(13分)设F

42、1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果＝2，求椭圆C的方程．解　(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝(x－2)．由消去x，整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.解得y1＝，y2＝.因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b2＝5.故椭圆C的

43、方程为＋＝1.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2013·厦门质检)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2＋y2＝相切于点Q，且＝2Q，则椭圆C的离心率等于(　　)．A.B.C.D.解析　记椭圆的左焦点为F′，圆2＋y2＝的圆心为E，连接PF′，QE.∵

44、EF

45、＝

46、OF

47、－

48、OE

49、＝c－＝，＝2Q，∴＝＝，∴PF′∥QE，∴＝，且P