高中奥数覆盖例题讲解

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1、高中奥数覆盖例题讲解１．最简单情形――用一个圆覆盖一个图形．首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到：定理１如果能在图形Ｆ所在平面上找到一点Ｏ，使得图形Ｆ中的每一点与Ｏ的距离都不大于定长ｒ，则Ｆ可被一半径为ｒ的圆所覆盖．定理２对于二定点Ａ、Ｂ及定角α若图形Ｆ中的每点都在ＡＢ同侧，且对Ａ、Ｂ视角不小于α，则图形Ｆ被以ＡＢ为弦，对ＡＢ视角等于α的弓形Ｇ所覆盖．在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中，上述二定理应用十分广泛．２．一个图形Ｆ能否被覆盖，与图形中任意两点间的距离最大值ｄ密切相关．以下我们称图形Ｆ中任意两点间的

2、距离最大值ｄ为图形Ｆ的直径．我们继续研究多个圆覆盖一个图形问题．定义对于图形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ，若图形Ｆ中的每一点都被这组图形中的某个所覆盖，则称这几个图形覆盖图形Ｆ．图形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ为ｎ个圆是一特殊情形．３．直线形图形覆盖别的图形的问题解决直线形图形覆盖别的图形的问题，常须较高的智巧，一般的处理方法是通过构造过渡图形，逐步调整，最终获得问题的解决．4.图形的嵌入是覆盖问题的一种重要变化形式所谓图形Ｆ能嵌入图形Ｇ,其本质就是图形Ｇ能覆盖图形F.例题讲解1．求证：（１）周长为２ｌ的平行四边形能够被半

3、径为的圆面所覆盖．（２）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是２ｌ，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．2．△ABC的最大边长是ａ，则这个三角形可被一半径为的圆所覆盖．3．△ＡＢＣ的最大边BC等于ａ，试求出覆盖△ABC的最小圆．4．以ＡＢＣＤ的边为直径向平行四边形内作四个半圆，证明这四个半圆一定覆盖整个平行四边形．5．求证：一个直径为１的圆不能被两个直径小于１的圆所覆盖．6．给定一个半径为１的圆，若用半径为的圆去覆盖它，问至少要几个才能盖住．7．证明直径为１的图形Ｆ可被单位正方形覆盖．8．直径

4、为１的图形Ｆ可被一个边长为的正三角形覆盖，试证明之．9．试证面积为S、周长为P的四边形一定可嵌入一个半径为的圆.10．在一个半径等于18的圆中已嵌入16个半径为3的圆.证明在余下的部分中还能嵌入9个半径为1的圆.例题答案：１．分析（１）关键在于圆心位置，考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．（２）＂曲＂化＂直＂．对比（１），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．证明（１）如图４５－１，设ＡＢＣＤ的周长为２ｌ，ＢＤ≤ＡＣ，ＡＣ、ＢＤ交于Ｏ，Ｐ为周界上任意一点，不妨设在

5、ＡＢ上，则∠１≤∠２≤∠３，有ＯＰ≤ＯＡ．又ＡＣ＜ＡＢ＋ＢＣ＝ｌ，故ＯＡ＜．因此周长为２ｌ的平行四边形ＡＢＣＤ可被以Ｏ为圆心；半径为的圆所覆盖，命题得证．（2）如图45-2,在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l.又设RQ中点为G，M为线圈耻任意一点，连MR、MQ，则因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．２．分析ａ为最大边，所对角A满足６０°≤A＜１８０°．证明不妨设BC＝ａ，以BC为弦，在A点所在一侧作含60°角的弓形弧（图４５－３）．因６０°≤A≤180°，故根据

6、定理２，△ABC可被该弓形所覆盖．由正弦定理，弓形相应半径ｒ＝，所以△ABC可被半径为的圆所覆盖．显然覆盖△ABC的圆有无穷多个，那么半径为的圆是否是最小的覆盖圆呢？事实并不尽然．３．解分三种情形进行讨论：（１）∠Ａ为钝角，以ＢＣ为直径作圆即可覆盖△ＡBC．（２）∠Ａ是直角，同样以ＢＣ为直径作圆即可覆盖△ABC；（３）∠Ａ是锐角．假若⊙O覆盖△ABC，我们可在⊙O内平移△ABC，使一个顶点B落到圆周上，再经过适当旋转，使另一个顶点落在圆周上，此时第三个顶点A在⊙O内或其圆周上，设BC所对圆周角为α，那么∠B

7、AC≥α，设⊙O直径ｄ，△ABC外接圆直径ｄ０，那么所以对于锐角三角形ABC，最小覆盖圆是它的外接圆．今后我们称覆盖图形F的圆中最小的一个为F的最小覆盖圆．最小覆盖圆的半径叫做图形F的覆盖半径．综合例２、例３，即知△ABC中，若ａ为最大边，则△ABC的覆盖半径ｒ满足４．分析１ＡＢＣＤ的每一点至少被某个半圆所盖住．证明１用反证法．如图４５－４设存在一点Ｐ在以ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ为直径的圆外，根据定理二，∠ＡＰＢ，∠ＢＰＣ，∠ＣＰＤ∠ＤＰＡ均小于９０°，从而∠ＡＰＢ＋∠ＢＰＣ＋∠ＣＰＤ＋∠ＤＰＡ＜３６０°．与

8、四角和应为周角相矛盾．故Ｐ应被其中一半圆盖住，即所作四个半圆覆盖ＡＢＣＤ．分析２划片包干，如图４５－５，将ＡＢＣＤ分为若干部分，使每一部分分别都被上述四个半圆所覆盖．证明２在ＡＢＣＤ中，如图４５－５，设ＡＣ≥ＢＤ．分别过Ｂ、Ｄ引垂线ＢＥ、ＤＦ垂直ＡＣ，交ＡＣ于Ｅ、Ｆ，将ＡＢＣＤ分成四个直角三角形，△ＡＢＥ、△ＢＣＥ、△ＣＤＦ、△ＤＡＦ．每一个直角三角形恰好被一半圆所覆盖，从而整个四边形被四个半圆所覆盖．５．证明如