高中数学 1.1.1 任意角学案 新人教a版必修4

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1、1.1.1任意角【学习要求】1．理解正角、负角、零角与象限角的概念．2．掌握终边相同角的表示方法．【学法指导】1．解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向．2．确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量．3．学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按形成的角负角按形

2、成的角零角一条射线，称它形成了一个零角2．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

3、β＝}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和.探究点一　角的概念的推广我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．因此，

4、从“旋转”的角度，对角作重新定义如下：一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点．问题1　正角、负角、零角是怎样规定的？答　按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．问题2　根据角的定义，图中角α＝120°；β＝；－α＝；－β＝；γ＝.问题3　经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角．答　经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角是－36

5、00°.问题4　如果你的手表快了1.25小时，只需将分针旋转多少度就可以将它校准？答　将分针旋转450°或－3870°即可校准．探究点二　终边相同的角今后我们常在直角坐标系内讨论角．为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置．终边相同的角相差360°的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角(连同

6、角α在内)的集合S＝{β

7、β＝α＋k·360°，k∈Z}．根据终边相同的角的概念，回答下列问题：问题1　已知集合S＝{θ

8、θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240°S,300°S，－1020°S.(用符号：∈或∉填空)．问题2　集合S＝{α

9、α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角终边相同的角，其中最小的正角是.问题3　已知集合S＝{α

10、α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在上．探究点三　象限角与终边落在坐标轴上的角问题1　终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴

11、上的角，请完成下表.终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴问题2　下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限问题3　写出终边落在x轴上的角的集合S.答　S＝{α

12、α＝k·360°，k∈Z}∪{α

13、α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α

14、α＝2k·180°，k∈Z}∪{α

15、α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α

16、α＝n·180°，n∈Z}．问题4　写出终边落在y轴上的角的集合T.答　T＝{β

17、β＝90°＋2k·18

18、0°，k∈Z}∪{β

19、β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β

20、β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β

21、β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β

22、β＝90°＋n·180°，n∈Z}．【典型例题】例1　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°

23、＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．小结　解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．跟踪训