小题专项集训(十三) 立体几何(二)

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1、小题专项集训(十三) 立体几何(二)(时间:40分钟 满分:75分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.已知点M在平面ABC内,并且对空间任一点O,=x++,则x的值为(  ).A.B.C.D.0解析 由四点共面的充要条件,知x++=1,因此x=.答案 A2.(2011·辽宁)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是(  ).A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析 易证AC⊥平面SBD,因而AC⊥SB,A正确;AB∥DC,DC⊂平面SCD,故A

2、B∥平面SCD,B正确;由于SA,SC与平面SBD的相对位置一样,因而所成的角相同.答案 D3.点M在z轴上,它与经过坐标原点且方向向量为s=(1,-1,1)的直线l的距离为,则点M的坐标是(  ).A.(0,0,±2)B.(0,0,±3)C.(0,0,±)D.(0,0,±1)解析 设M为(0,0,z),直线l的一个单位方向向量为s0=,故点M到直线l的距离d===,解得z=±3.答案 B4.在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹角的余弦值为(  ).A.-B.-C.D.解析 如图建立直角坐标系D-xyz,设DA=1,A(1,0,0),

3、C(0,1,0),E.则=(-1,1,0),=,若异面直线DE与AC所成的角为θ,cosθ=

4、cos〈,〉

5、=.答案 D5.(2011·全国)已知二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于(  ).A.B.C.D.1解析 ∵=++,∴

6、

7、2=

8、

9、2+

10、

11、2+

12、

13、2,∴

14、

15、2=2.在Rt△BDC中,BC=.∵面ABC⊥面BCD,过D作DH⊥BC于H,则DH⊥面ABC,∴DH的长即为D到平面ABC的距离,∴DH===.故选C.答案 C6.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC,AB

16、⊥AC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,P是A1B1的中点,则直线PQ与AM所成的角为(  ).A.   B.C.   D.解析 以A为坐标原点,AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=AB=AC=2,则=(0,2,1),Q(1,1,0),P(1,0,2),=(0,-1,2),所以·=0,所以QP与AM所成角为.答案 D7.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为(  ).解析 以D为原点,DA、DC所在直线

17、分别为x、y轴建系如图:设M(x,y,0),设正方形边长为a,则P,C(0,a,0),则

18、MC

19、=,

20、MP

21、=.由

22、MP

23、=

24、MC

25、得x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y=x的一部分.答案 A8.如图所示,在四面体P-ABC中,PC⊥面ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角B-AP-C的余弦值为(  ).A.B.C.-D.解析 如图所示,作BD⊥AP于D,作CE⊥AP于E.设AB=1,则易得CE=,EP=,PA=PB=,可以求得BD=,ED=.因为=++,所以2=2+2+2+2·+2·+2·,所以·=-,所以cos〈,〉=-.故选C.答案 C9.(2013·南通一模)

26、如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(  ).A.EF至多与A1D、AC之一垂直B.EF与A1D、AC都垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析 设AB=1,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC,故选B.答

27、案 B10.P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在α,β平面上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为(  ).A.60°B.70°C.80°D.90°解析 不妨设PM=a,PN=b,如图所示,作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,因为∠BPM=∠BPN=45°,所以PE=a,PF=b,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=abcos60°-a×bcos45°-abcos45°+a×b=

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