16第十六讲 微分方程方法new

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1、泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象2006级本科授课题目第十六讲　微分方程方法课时数4教学目的通过教学使学生掌握常见微分方程的解法，熟练掌握一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程，二阶线性常系数微分方程的解法。重点难点1．重点一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程，二阶线性常系数微分方程的解法；2．难点微分方程应用问题。教学提纲第十六讲　微分方程方法1．基本类型1.1可分离变量的微分方程方程1.2齐次方程1.3一阶线性微分方程方法1:公式法，通解为：方法1:常数变易法，1.4有些微分方程把y看成x的函数不是一阶线性微分方

2、程，但把x看成y的函数是一阶线性微分方程。2.可降阶的高阶微分方程类型１:，解法：连续积分次；类型2:,特点：不显含未知函数，解法：设；类型3特点：不显含自变量，解法：设；3.二阶线性常系数微分方程3.1二阶常系数齐次线性微分方程3.2二阶常系数非齐次线性微分方程9教学过程与内容教学后记9第十六讲　微分方程方法一、基本类型1.可分离变量的微分方程方程求解方法：2．齐次方程求解方法：，令，化简并整理有求出积分后，再以代替，即可求得齐次方程的通解。3．一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程。如果，则称为一阶线性齐次微分方程；如果不恒等于零，则称为一阶线

3、性非齐次微分方程。求解方法1：公式法，通解为：方法2：常数变易法，例1:求微分方程的通解。【解】分离变量有：,两端积分：,可得：通解为：例2：求微分方程的通解。【解】原方程可化为令，有可得解得通解为【练习】解微分方程(1)(2)答案：（1）（2）例3:求微分方程的通解。9【解法一】令解得：用常数变易法，令：带入，化简，有：，即通解为：．【解法二】通解为：==4.伯努利方程方程叫做伯努利方程,伯努利方程可通过常数变易法求解.例4:解方程【解】解得，，把C看成x的函数，令，带入原方程得：原方程的通解　5.有些微分方程把y看成x的函数不是一阶线性微分方程，但把x

4、看成y的函数是一阶线性微分方程。例5:求微分方程的通解。【分析】直接解该题是困难的，但把x看成y的函数则是一阶线性微分方程【解】６.二元全微分方程的解法，若存在使,则称它为全微分方程判别法：为全微分方程的充分必要条件是。通解：；9求法：一般取.例6:验证是为全微分方程,并求其通解。【解】这里,,所以，是为全微分方程==.方程的通解为(为任意常数).二、可降阶的高阶微分方程类型１:，解法：连续积分次；类型2:,特点：不显含未知函数，解法：设；类型3：，特点：不显含自变量，解法：设；例7:求微分方程得通解。【解】积分再积分，有：再积分，通解为：例8:求方程满足

5、初始条件的特解。【解】设，原方程化为积分有：由，知因此，有：9积分有：由，知因此，特解为：。例9:求方程的通解。【解】设分离变量，有：积分：因此：通解为：。三、二阶线性常系数微分方程1二阶常系数齐次线性微分方程形如（其中是常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。解法：设特征方程的两个根为。（1）当时，，方程（3）的通解为：；（2）当时，，方程（3）的通解为：；（3）当时，记，方程（3）的通解为：。【练习】直接写出二阶常系数齐次线性微分方程的解;;2二阶常系数非齐次线性微分方程形如的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程。求二阶常系数非齐次线性微分方程的通

6、解归结为求对应的齐次方程的通解和非齐次方程本身的一个特解得和。类型1：型方程的特的特解具有如下形式：　　　其中与为相同的次多项式，而按9不是特征方程的根、是特征方程的单根、或是特征方程的重根依次取0、1或2。类型2：型方程的特解的形式为：，其中按不是特征方程的根或是特征方程的单根取0或1。例10:求微分方程的通解。【解】齐次方程的通解为：令非齐次方程的特解为代入方程可解得：通解为：例11:求微分方程的通解。【解】齐次方程的通解为：设特解代入方程，解得：通解为：。练习：;３.二阶常系数非齐次线性微分方程若的特解为，的特解为，则的特解为＋；四、微分方程综合题近

7、年微分方程很少单独出题，大多与其它知识点联合出综合体题。例12:在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)当与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值.【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【解】（Ⅰ）设曲线的方程为，则由题设可得9，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得，又，所以.故曲线的方程为.(Ⅱ)与直线（）所围成平面图形如右图所示.所以，故.例13:设函数在内具有二阶导数，且满足等式.（1）验证；（2）若，求函数的表达式.【解

8、】（1）前面已证（2）令，则，两边积分得　　　，即，亦即　.由可得