大学物理素材-前沿浏览-量子霍耳效应

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1、第五章量子霍耳效应量子霍耳效应现象一、霍耳效应VHe+yIΔVbz-fLdxa图5-1霍耳效应在介绍量子霍耳效应（缩写为QHE）之前，有必要回顾一下普通的霍耳效应。取一块长方体金属样品（a×b×d），让电流I沿x方向通过，在z方向加一均匀磁场B。由于电子受洛兹力fL的作用，故样品沿y方向将产生一电压VH，称为霍耳电压，这就是通常所讲的霍耳效应。半经典半量子的理论认为，金属中只有费密能级附近的电子可以自由运动。因为泡利原理限制了其它低于费密能级电子的活动性。假定费密电子在连续的两次碰撞之间自由行走的平均时间和平均路程分别为和，并称为平均自由时间，为平均自由程。显然有，VF是费密运动

2、电子的速度。在外电场E沿x方向作用的情况下，电子有一平均速度增量，为(5.1)电流密度与电子运动的关系为(5.2)式中，n是电子的数密度，m是电子的有效质量。将（5.2）式与欧姆定律作比较，得到电导率为(5.3)电子因洛伦兹力而引起的速度增量为(5.4)于是产生y方向的电流，为所以总电流为(5.5)一个二维导体置于平面内，取B沿z方向，则（5.5）式可以写成矩阵形式(5.6)实际上，对（5.5）式分别取x和y方向上的分量，则有(5.7)式中的电流项移到左边，并除以，即为（5.6）式。记电阻率为则（5.6）式简记为(5.8)这里电阻率不再是标量，而是一个张量。电导率是的逆矩阵：容易

3、求出这里是电子在磁场中的回旋率。综上所述，得出以下结论：1、一般情况下，电阻率和电导率是张量，而非标量。2、霍耳电阻率即电阻率的非对角项，它们不是独立的，而是互为相反数，而对角项。二、量子霍耳效应Hall效应发现后，大约经过了100年，Klaus.VonKlitzing（克劳斯·冯克里青）、Dorda（多达）和Pepper（波普）在1980年发表了关于QHE的实验工作报告。为此，冯克里青获得了1985年诺贝尔物理奖。什么是QHE，简单地说，在一定条件下，处在强磁场中的二维电子系统，其电导率张量为(5.9)这里i是整数。换句话讲，电流密度j严格地与电场E垂直，且电流值是量子化的。从

4、(5.9)式可知，当Ex=0时(5.10)将(5.10)式记为(5.11)由此得到QHE的主要特点是：1.。2.电导率张量的非对角项由基本常数e、h构成，即(i是整数)而对角项为零，表明电流是无耗散的。QHE与超导、超流似乎有某种联系。AVLBISVHWDCL图5-2Hall电阻测量由于i取整数，故也称QHE为整数量子霍耳效应，记为IQHE。1982年，Daniel.Tsui（丹尼尔·崔）、Stormer（斯托美）和Gossard（戈沙德）发现，在极低温下，理想样品的i值能被一系列分数值f代替，特别有趣的是，这些分数的分母必须是奇数，即f=1/3，2/3，2/5，8/5，3/7，

5、4/7…。这一现象称为反常量子Hall效应或分数量子Hall效应，记为FQHE。在实际的实验过程中，电导率张量和电阻率张量都是非直接测量量，只有电阻或电导才是直接测量量。图5-2是对样品进行测量的简单原理图。电子从S源出发，穿过样品到漏极D。触点A、B、C用来测量电压VL和HH。基本的关系式为L是样品长度，W是样品宽度。于是，纵向电阻和横向电阻分别为(5.12)(5.13)（5.12）式是通常的电阻率定律。式(5.13)表明Hall电阻与样品的几何尺寸无关。h/e2RH321123nhc/eB图5-3Hall电阻台阶按照通常的Hall效应理论，应有则与应呈直线关系（见图5-3中虚

6、直线），但实际测量结果却出现了一些台阶（见图5-3中实线）。台阶高度处在为整数的地方，台阶中心十分平直。此刻尽管磁场B有变化，也并不影响RH值。对应台阶的RL=0，这时，有电流而无沿电流方向的电压。在低温下，好的样品一般有较宽的台阶。上面，介绍了QHE的基本特点、实验测量原理和结果。如何解释QHE，特别是FQHE，至今仍是一个引起人们极大兴趣的理论研究课题。下面将简要说明QHE的物理机制。强磁场中的二维电子系统yΔOx图5-4二维电子气的一种分布设想有一个二维长方形的样品，电子在其上沿x方向分布，它们集中在y=常量的一系列水平线上，各水平线相互平行且等距，间距为恒量Δ（见图5-4

7、），我们称二维电子气的这种分布沿x方向是可扩展的，而沿y方向是局域化的。在此分布下，只可能有x方向的电流而不可能有y方向的电流。这一设想能否在实际样品中实现呢？非常有趣的是，在强磁场B中的二维电子气，当磁场B与二维样品垂直时，正好出现上述分布。设B与样品垂直，沿z方向。用矢势A描述之并取Landau（朗道）规范(5.14)容易看到略去电子间的相互作用，二维电子气的单电子薛定谔方程为考虑最小耦合原理，动能已用代替。解方程（5.15），分离变量得则满足(5.16)其中方程(5.16)