大学物理素材-前沿浏览-量子霍耳效应

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1、第五章量子霍耳效应量子霍耳效应现象一、霍耳效应VHe+yIΔVbz-fLdxa图5-1霍耳效应在介绍量子霍耳效应（缩写为QHE）之前，有必要回顾一下普通的霍耳效应。取一块长方体金属样品（a×b×d），让电流I沿x方向通过，在z方向加一均匀磁场B。由于电子受洛兹力fL的作用，故样品沿y方向将产生一电压VH，称为霍耳电压，这就是通常所讲的霍耳效应。半经典半量子的理论认为，金属中只有费密能级附近的电子可以自由运动。因为泡利原理限制了其它低于费密能级电子的活动性。假定费密电子在连续的两次碰撞之间自由行走的平均时间和平均

2、路程分别为和，并称为平均自由时间，为平均自由程。显然有，VF是费密运动电子的速度。在外电场E沿x方向作用的情况下，电子有一平均速度增量，为(5.1)电流密度与电子运动的关系为(5.2)式中，n是电子的数密度，m是电子的有效质量。将（5.2）式与欧姆定律作比较，得到电导率为(5.3)电子因洛伦兹力而引起的速度增量为(5.4)于是产生y方向的电流，为所以总电流为(5.5)一个二维导体置于平面内，取B沿z方向，则（5.5）式可以写成矩阵形式(5.6)实际上，对（5.5）式分别取x和y方向上的分量，则有(5.7)式中的

3、电流项移到左边，并除以，即为（5.6）式。记电阻率为则（5.6）式简记为(5.8)这里电阻率不再是标量，而是一个张量。电导率是的逆矩阵：容易求出这里是电子在磁场中的回旋率。综上所述，得出以下结论：1、一般情况下，电阻率和电导率是张量，而非标量。2、霍耳电阻率即电阻率的非对角项，它们不是独立的，而是互为相反数，而对角项。二、量子霍耳效应Hall效应发现后，大约经过了100年，Klaus.VonKlitzing（克劳斯·冯克里青）、Dorda（多达）和Pepper（波普）在1980年发表了关于QHE的实验工作报告。

4、为此，冯克里青获得了1985年诺贝尔物理奖。什么是QHE，简单地说，在一定条件下，处在强磁场中的二维电子系统，其电导率张量为(5.9)这里i是整数。换句话讲，电流密度j严格地与电场E垂直，且电流值是量子化的。从(5.9)式可知，当Ex=0时(5.10)将(5.10)式记为(5.11)由此得到QHE的主要特点是：1.。2.电导率张量的非对角项由基本常数e、h构成，即(i是整数)而对角项为零，表明电流是无耗散的。QHE与超导、超流似乎有某种联系。AVLBISVHWDCL图5-2Hall电阻测量由于i取整数，故也称Q

5、HE为整数量子霍耳效应，记为IQHE。1982年，Daniel.Tsui（丹尼尔·崔）、Stormer（斯托美）和Gossard（戈沙德）发现，在极低温下，理想样品的i值能被一系列分数值f代替，特别有趣的是，这些分数的分母必须是奇数，即f=1/3，2/3，2/5，8/5，3/7，4/7…。这一现象称为反常量子Hall效应或分数量子Hall效应，记为FQHE。在实际的实验过程中，电导率张量和电阻率张量都是非直接测量量，只有电阻或电导才是直接测量量。图5-2是对样品进行测量的简单原理图。电子从S源出发，穿过样品到漏

6、极D。触点A、B、C用来测量电压VL和HH。基本的关系式为L是样品长度，W是样品宽度。于是，纵向电阻和横向电阻分别为(5.12)(5.13)（5.12）式是通常的电阻率定律。式(5.13)表明Hall电阻与样品的几何尺寸无关。h/e2RH321123nhc/eB图5-3Hall电阻台阶按照通常的Hall效应理论，应有则与应呈直线关系（见图5-3中虚直线），但实际测量结果却出现了一些台阶（见图5-3中实线）。台阶高度处在为整数的地方，台阶中心十分平直。此刻尽管磁场B有变化，也并不影响RH值。对应台阶的RL=0，这

7、时，有电流而无沿电流方向的电压。在低温下，好的样品一般有较宽的台阶。上面，介绍了QHE的基本特点、实验测量原理和结果。如何解释QHE，特别是FQHE，至今仍是一个引起人们极大兴趣的理论研究课题。下面将简要说明QHE的物理机制。强磁场中的二维电子系统yΔOx图5-4二维电子气的一种分布设想有一个二维长方形的样品，电子在其上沿x方向分布，它们集中在y=常量的一系列水平线上，各水平线相互平行且等距，间距为恒量Δ（见图5-4），我们称二维电子气的这种分布沿x方向是可扩展的，而沿y方向是局域化的。在此分布下，只可能有x方

8、向的电流而不可能有y方向的电流。这一设想能否在实际样品中实现呢？非常有趣的是，在强磁场B中的二维电子气，当磁场B与二维样品垂直时，正好出现上述分布。设B与样品垂直，沿z方向。用矢势A描述之并取Landau（朗道）规范(5.14)容易看到略去电子间的相互作用，二维电子气的单电子薛定谔方程为考虑最小耦合原理，动能已用代替。解方程（5.15），分离变量得则满足(5.16)其中方程(5.16)