八年级数学上册专题提高讲义第1讲勾股定理北师大版

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1、第一讲：勾股定理及其运用◆【知识考点梳理】1、勾股定理，又称商高定理、毕达哥拉斯定理或毕氏定理。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。定理：在直角三角形中，两直角边平方之和等于斜边的平方；在中，若，则；注意：（1）运用勾股定理的条件是在直角三角形中；（2）认准斜边；2、勾股定理的逆定理----运用定理判断三角形为直角三角形在中，若，则；注意体会：公式的变形式。若，则补充公式：（是直角三角形的直角边边长，是斜边边长，是斜边上的高）3、勾股定理的应用：注意体会建立直角三角形模型，运用勾股定理建立方程求解。

2、4、思想方法归纳：（1）方程思想；（2）数学建模思想；（3）转化类比思想；（4）分类讨论思想；◆【考点聚焦、方法导航】【考点题型1】-----直角三角形中由已知的边长求未知边的长度【例1】在中，，直角边为、，斜边为。1、（1）若，，则；（2）若，，则；2、若，，则，；【例2】在中，，。（1）若，则，；（2）若，则；【例3】在中，，。（1）若，则；（2）若，则。◆方法点拨：认清斜边，运用直角三角形三边的关系建立方程求线段的长；【考点题型2】---利用勾股定理解决实际问题【例4】如图所示：若将长方形纸片沿虚线①对折后，沿虚线②5剪开，剪出一

3、个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的三角形的周长是（）、、、、【例5】（最短距离问题）1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，AB小河东北牧童小屋则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是；1题图2题图训练1题图2、如图：等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，且，则的最小值为；◆目标训练1：1、如图，一个牧童在小河的南的处牧马，他位于小屋的西北处，他把马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是。10402040出发

4、点70终止点2、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米。小明到达的终止点与原出发点的距离是米。◆方法点拨：【考点题型3】----直角三角形的判定（勾股定理的逆定理运用）【例6】三角形的三边为，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A、B、C、D、【例7】阅读理解：已知为的三边，且满足，试判断的形状。5解：∵①∴②∴③∴为直角三角形。问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；（2）错误的原因是；（3）本题正确的结论是；【考点题型4】---利用勾股定理建立方程

5、求线段的长度【例8】如图，某学校（点）与公路（直线）的距离为300米，又与公路车站（点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（点），使之与该校及车站的距离相等，求商店与车站之间的距离．【例9】已知：如图，梯形中，∥，，，，点在边上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处。（1）求的度数；（2）求的面积；◆目标训练2：ABEFDC1、已知如图：长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（）A、B、C、D、2、如图，铁路上、两点相距25km，、为两村庄，于，于5，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的

6、距离相等，则站应建在离站多少km处？ADEBC◆方法小结：◆【创新思维与能力拓展】1.如图：中，，，是上一点，且，则的长为；2.（13凤阳）如图1，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立。（1）当正方形绕点逆时针旋转（）时，如图2，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）当正方形绕点逆时针旋转时，如图3，延长交于点。①、求证：；②、当，时，求线段的长。图1图2图3作业设计5姓名：作业等级：组---夯实基础1、1、下列条件中，能判定为直角三角形的是（）、、、、，，2、如图4，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地

7、毯。3、直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为；4、中，，，高，则的周长为；组---能力拓展1、等腰三角形底边上的高为，周长为，则该三角形的面积为（）、、、、2、若的三边满足，则为三角形；3、如图，中，，，，则的面积为;4、在ABC中，，求5、要在宽为的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为，且与灯柱成角(如图所示)，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中线时．照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果?（精确到0.01米，）5