框架理论及其在处理数据丢失问题中的应用研究

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1、电子科技大学UNIVERSITYOFELECTRONICSCIENCEANDTECHNOLOGYOFCHINA博士学位论文DOCTORALDISSERTATION论文题目框架理论及其在处理数据丢失问题中的应用研究学科专业数学学号201411100111作者姓名李东伟指导教师冷劲松分类号密级注1UDC学位论文框架理论及其在处理数据丢失问题中的应用研究（题名和副题名）李东伟（作者姓名）指导教师冷劲松教授电子科技大学成都（姓名、职称、单位名称）申请学位级别博士学科专业数学提交论文日期2018.03.14论文答辩日期2018.06.02学位授予单位和日期电子科技大学2018年6月答辩委员会

2、主席评阅人注1：注明《国际十进分类法UDC》的类号。ResearchonFrameTheoryandItsApplicationinDealingwithErasuresADoctoralDissertationSubmittedtoUniversityofElectronicScienceandTechnologyofChinaDiscipline:MathematicsAuthor:DongweiLiSupervisor:Prof.JinsongLengSchool:SchoolofMathematicalSciences独创性声明木人声明所呈交的学位论文是木人在导师指导下

3、进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人ｄ经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我？同工作的同志对木研宄所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。作者签名：日期：年《月冲日论文使用授权木学位论文作者完全了解电子科技大学冇关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。木人授权电子科技大学可以将学位论文，允许论文被查阅和借阅、的全部或部分内容编入冇关数据库进行检索，可以采爪影印缩印或

4、扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后应遵守此规定）：力ｔｏ作者签名：导师签名口期：年６月？摘要摘要Hilbert空间中的框架理论是小波分析的一个分支，是与算子理论相结合的一个新兴的研究方向。本质上，框架是基的一个推广，它不但继承了基的优良特性，而且还拥有基所不能拥有的冗余性质。正是由于框架的冗余性，在现代信号传输系统中，框架已逐步取代一般的基或正交基成为编码和解码的工具。由于应用的广泛性，框架理论自提出至今已取得长足进展，但仍有许多问题有待研究。本学位论文对框架的一些性质展开进一步的研究，并利用框架解决信号传输过程中有数据发生概率丢失时的

5、重构问题，具体工作包括以下内容：1.研究融合框架的相关性质。首先给出了K-融合框架的一些刻画以及扰动的结论。其次我们证明K-融合框架和闭子空间上的原子系统是等价的，并从原子系统的角度构造K-融合框架。接着，我们研究了一类关于融合框架的含参变量的基本恒等式。这些等式更具有一般性，并且有助于解决信号无相位重构中的相关问题。2.研究了g-框架的相关性质。由于我们并不了解g-框架展开的无条件收敛的具体特征，为此，我们首先对此进行了深入的研究，并利用无条件(收敛)常数研究g-框架展开的收敛特征，进而发现无条件常数都以某个与框架界有关的数值为界。接着，我们利用正序列研究了g-框架的和及其稳定性

6、，并给出了有限个g-框架的和依然是g-框架的条件。最后，我们提出了编织g-框架的概念，给出了编织g-框架的相关性质以及一列g-框架满足可编织的条件。同时，我们也给出了编织g-框架类似于Paley-Wiener定理的扰动结果。3.研究了框架在信号传输过程中有数据发生概率丢失时的重构问题。首先分析了编码数据在传输中发生概率丢失的过程，并将每个编码数据的传输过程模拟成Markov过程，从而得到每个编码数据发生丢失的概率。其次，利用这些丢失概率构造相应的Parseval框架，即概率模型化的Parseval框架。这类Parseval框架相比较于传统的最优Parseval框架在解决概率丢失的信

7、号恢复问题上更具有优势。最后我们研究了框架的概率最优对偶框架。对于一个给定的框架，我们定义了判定对偶框架是否是概率最优的条件，并给出了框架的正则对偶是概率最优对偶框架的条件。与一般的最优对偶框架相比较，概率最优对偶框架能更好的降低概率丢失对重构效果的影响。关键词：框架，融合框架，g-框架，扰动，丢失IABSTRACTABSTRACTTheframetheoryinHilbertspacesisabranchofwaveletanalysis,whichisanewre