专题与等边三角形

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1、专题:与等边三角形、正方形相关的图形变换（3）教学任务分析教学目标知识与技能（1）从变换的角度来认识与等边三角形、正方形相关的面积问题．（2）利用等边三角形、正方形在边、角方面的特殊性理解图形变换的性质和应用．过程与方法经历解决实际问题的过程，学习怎样应用图形变换来探索和发现图形的性质和图形关系；体会图形变换在解决问题中的工具作用.情感态度与价值观感受数学活动充满探索与创造,感受变换的思想为解决问题带来的奇效.教学重点图形变换的应用教学难点实际问题中怎样通过图形变换进行等价转化.教学方法讨论交流模式教学用具几何画板的动画演示教学过程设计教师学生活动设计意图一、问

2、题引入：如图，分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆，若正方形的边长为，求阴影部分的面积．当图中的阴影部分是复杂、分散的不规则图形，要直接计算它的面积较复杂，因此想到要把分散的图形集中到一起，把不规则的阴影图形的面积转化成我们熟悉的图形的面积．求不规则图形的面积，可以通过图形变换将所求面积转化为我们熟知的规则图形的面积进行计算，这是解答此类问题的常用方法之一．二、问题解决：例1如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点．若正方形的边长为，重叠部分（四边形）的面积为，求旋转的角度．GDOCFEBA师：共顶点的两个正方形在旋转的过程中，重叠部分即四边

3、形的大小一直在变化，但组成这个四边形的两个三角形始终是全等的，例2已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．当绕点旋转到如下图的两个位置时，、、有怎样的数量关系．FEA图2DCBADBCE图1F图3师：当∠EDF绕点D旋转时，角的两边与线段、相交到与、的延长线相交的过程中，有哪些特殊情况？图4图形在旋转变换的过程中，通过观察与想象，掌握运动的本质，在图形运动中寻求不变量，以便解决问题．图6-1图5-1师：∠EDF旋转的过程中，虽然的形状和大小在不断的变化，但无论怎样变化，始终存在不变量，即与始终是全等的．图6-2图5-2例3在平面直角

4、坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．11在图形运动变化时，图形的位置、大小可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两

5、个角或某两个三角形所对应的数量关系不发生改变。因此需仔细观察图形特征和分析题目条件，寻找和发现在图形旋转变化的过程中的不变量．图形虽然变化，但问题的实质和分析问题的方法是不变的．三、问题探究：1．已知：中，，为中点，分别交于，交于，且．求证：．2．已知：如图，，为中点，分别交于，交于，且．求证：．解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点，把图形位置进行改变，把“有用”的信息进行有目的的整合，使较为复杂的问题得以顺利求解．四、全课小结1.体会旋转变换的实质；2.利用图形变换可以把复杂问题转化为简单问题.教师引导学生回答五、布置作业1．如图，将边长为的正方形纸片从左

6、到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1,A2,A3,….①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为；②若摆放前n（n为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为.2．（2009年广东省）（1）如图1，圆内接中，.为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．（2）如图2，若保持角度不变，求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．CEDBOFGA图1DBOCEA图27.（09昌平一模）已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.（1）

7、如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长.利用图形变换解决问题