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《《线性代数》习题四答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1习题四(A)1.解:(1)得特征值对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数)对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数)得特征值对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为不全为零的任意常数)对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数).得特征值对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为不全为零的任意常
2、数)对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数).得特征值对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为不全为零的任意常数)对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数).2.解:得特征值(重),解齐次线性方程组,可知可取任一向量,特征向量为任一非零维列向量.得特征值(重),解齐次线性方程组,可知可取任一向量,特征向量为任一非零维列向量.3.解:4.解:设是的对应于特征值的特征向量,即,则即,从而,可得,解之得,或5
3、.证明:设是的对应于特征值的特征向量(1)即是的一个特征值.(2)当时,即是的一个特征值.设是矩阵的一个特征值,则,于是即是矩阵的一个特征值.(3)可逆,故又即是矩阵的一个特征值(4)可得,即是矩阵的一个特征值,(5)即是矩阵的一个特征值.6.证明:设则7.证明：（反证法）假设是的属于特征值的特征向量，则.，，.，线性无关.于是，.，，矛盾.▍8.证明:(1)(2)(3),从而.(4),从而.9.证明:10.解:均可对角化(1)取(2)取(3)取(4)取11.解:得对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,从而不可对角化.可得,,从而不可对角化.可得,对于,解对应
4、的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系令,可得.可得,从而不可对角化.12.解:矩阵是对角矩阵,而各选项中的矩阵与有相同的特征值,故只需判断各矩阵能否对角化.（1）显然，,从而与相似（2）,故矩阵不可对角化,从而不可能与相似.(3),故矩阵可对角化,从而与相似(4),故矩阵不可对角化,从而不可能与相似13.解:(1)从而解得(2),有相同的特征值,从而的特征值为当时,解对应的齐次线性方程组,得基础解系.当时,解对应的齐次线性方程组,得基础解系当时,解对应的齐次线性方程组,得基础解系令,则14.解:可得当时,解对应的齐次线性
5、方程组,可得它的一个基础解系当时,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系令则则15.解:令,则,其中16.证明:从而存在可逆矩阵所以.17.解:(1)可得对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系将向量单位化可得令,则可得对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系.对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系把向量正交化,有再将向量单位化,有令,则.可得对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系将向量单位
6、化可得令则可得对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系把向量正交化,有将向量单位化可得令,则.18.解:(1)设与向量正交的向量为,则,解此线性方程组,可得其基础解系从而对应于特征值的特征向量为.(2)将单位化:令则为正交矩阵,且,所以.19.解:由于中各行元素之和小于,由定理4.17,的所有特征值的模小于,再由定理4.15,可知20.解:可得当时,解对应的齐次线性方程组,得基础解系当时,解对应的齐次线性方程组,得基础解系令相互依存,使数量趋于稳定.21.解:
