杆件的内力 截面法

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1、杆件的内力截面法一、基本要求1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。二、内容提要1．轴向拉伸和压缩1）轴向拉伸或压缩的概念受力特点：外力或合外力与轴线重合；变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。2）轴力轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为轴力。一般用表示，单位为牛顿（N）。轴力的正负号规定：拉为正，压为负。3）轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大

2、小。正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。2．扭转1）扭转的概念受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。2）外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为3）扭矩、扭矩图当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的内力偶矩—扭矩，用表示。扭矩的正负号规定：按

3、右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）。表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相似。正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。3．弯曲内力1）基本概念弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。其

4、力学模型如图2-3所示。2）梁的计算简图静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分别如图2-4（a）、（b）、（c）所示。3）剪力和弯矩剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，称为剪力，用FS表示。弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用M表示。剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为dx的微段，若横截面上的剪力使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力FS规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负），如图2-

5、5（a）、（b）所示；若弯矩使dx微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩M规定为正，反之为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负），如图2-5（c）、（d）所示。根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为

6、x的函数，即上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力FS和弯矩M沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出FS(x)和M(x)。在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。第三，求控

7、制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明的数值。（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。载荷集度q（x）、剪力FS（x）与弯矩M（x）之间的关系为:根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。(a)若某段梁上无分布载荷，即，则该段梁的剪力FS（x）为常量，剪力图为平行于轴的直线；而弯矩为的一次函数，弯矩图为斜直线。(

8、b)若某段梁上的分布载荷（常量），则该段梁的剪力FS（x）为的一次函数，剪力图为斜直线；而为的二次函数，弯矩