自动控制原理习题及答案

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1、1.采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。去掉采样开关后的连续系统输出表达式为对闭环系统的输出信号加脉冲采样得再对上式进行变量替换得2.已知采样系统的结构如图所示，，采样周期T=0.1s。试求系统稳定时K的取值范围。答案:首先求出系统的闭环传递函数。由求得，已知T=0.1s，e-1=0.368，故系统闭环传递函数为，特征方程为D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0将双线性变换代入上式得0.632ω2+1.264ω+(2.7

2、36-0.632K)=0要使二阶系统稳定，则有K＞0，2.736-0.632K＞0故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。3.求下列函数的z变换。(1).e(t)=te-at答案:e(t)=te-at该函数采样后所得的脉冲序列为e(nT)=nTe-anTn=0，1，2，…代入z变换的定义式可得E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…=0+Te-aTz-1+2Te-2aTz-2+…+nTe-naTz-n+…=T(e-aTz-1+2e-2aTz-2+…+ne-naTz-n+…)两边

3、同时乘以e-aTz-1，得e-aTz-1E(z)=T(e-2aTz-2+2e-3aTz-3+…+ne-a(n+1)Tz-(n+1)+…)两式相减，若

4、e-aTz-1

5、＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得最后该z变换的闭合形式为(2).e(t)=cosωt答案:e(t)=cosωt对e(t)=cosωt取拉普拉斯变换．得展开为部分分式，即可以得到化简后得(3).答案:将上式展开为部分分式，得查表可得(4).答案:对上式两边进行z变换可得得4.求下列函数的z反变换(1).答案:由于所以得所以可得E(z)的

6、z反变换为e(nT)=10(2n-1)(2).答案:由于所以得所以E(z)的z反变换为e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1(3).答案:由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…所以其反变换为e*(t)=2δ(t-T)-6δ(t-3T)+10δ(t-5T)-14δ(t-7T)+18δ(t-9T)+…(4).答案:解法1：由反演积分法，得解法2：由于所以得最后可得z反变换为5.分析下列两种推导过程：(1).令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有答案:(2).对于和(1

7、)中相同的x(k)，有x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。答案:x(k)-x(k-1)=k(k)-(k-1)1(k-1)=0，1，2，…Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z)按z变换定义有将上述结果代入Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z)中可得可见，(1)的推导正确，(2)的推导第一步就错了，导致最后结果错误。6.假设一个序列f(k)，有如下的z变换形式(1).求f(k)。答案:首先求出F(z)的z反变换由

8、此可得f(k)=0.33(-0.6)k1(k)-0.0476(0.3)k1(k)+0.71·1(k)k=0，1，2，…--(2).序列的稳态值为多少?答案:在计算序列的稳态值之前，应该先判断(z-1)F(z)的稳定性。通过查看(z-1)F(z)的极点z1=-0.6，z2=0.3，可见(z-1)F(z)是稳定的。由终值定理可得7.某一过程的离散传递函数为(1).计算输出c(k)关于r(k)的单位阶跃响应。答案:单位阶跃信号的z变换为，因此z反变换为c(k)=11.426ej2.594(0.64ej0.675)·1(

9、k)+11.426e-j2.594(0.64e-j0.675)k·1(k)+19.5·1(k)=11.426(0.64)k(ej2.594+j0.675k+e-j2.594-j0.675k)·1(k)+19.5·1(k)=22.85(0.64)kcos(0.675k+2.594)·1(k)+19.5·1(k)k=0，1,2，...(2).c(k)的稳态值为多少?答案:可知，c(k)的稳态值为19.5。可以通过终值定理来检验这一结果的正确性，稳态增益为8.考虑如下的差分方程：y(k+1)+0.5y(k)=z(k)则

10、当输入x(k)为单位阶跃序列时，零初始条件下响应y(k)等于多少?答案:同时对方程两边进行z变换，得zY(z)+0.5Y(z)=X(z)当输入信号为单位阶跃序列时因此所得结果为9.已知系统传递函数为，试求能控标准型、能观测标准型、约当标准型，并画出状态变量图。答案:(1)能控标准型为(2)能观测标准型为(3)由上式可得对角型状态结构图分别如下图(a)、(b)和(c)所示。