九章算術_-_维基文库

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1、九章算術_-_维基文库九章算術九章算術作者：不详目录■1九章筭術注序■2卷第一方田以御田疇界域■3卷第二粟米■4卷第三衰分■5卷第四少廣■6卷第五商功■7卷第六均輸■8卷第七盈不足■9卷第八方程■10卷第九勾股■11注释九章筭術注序昔在庖犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術，以合六爻之變。暨於黃帝神而化之，引而伸之，於是建曆紀，恊律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱「隸首作數」，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善筭命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其

2、目則與古或異，而所論者多近語也。徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總筭術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本幹知，發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且筭在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方。至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。《周官·大司徒》職，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中。說云，南戴日下萬五千里。夫云爾者，以術推之。按《九章》立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，

3、無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡羣數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差為率，故曰重差也。立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之時，以景差為法，表高乘表間，實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筩南望日，日滿筩空，則定筩之長短以為股率，以筩徑為句率，日去人之數為大股，大股之句即日徑也。雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，

4、載之於志，以闡世術之美。輒造《重差》，并為注解，以究古人之意，綴於《句股》之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入。博物君子，詳而覽焉。（晉劉徽序）卷第一方田以御田疇界域〔一〕今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何？荅曰：一畝。〔二〕又有田廣十二步，從十四步。問：為田幾何？荅曰：一百六十八步。圖：從十四，廣十二。九章算術_-_维基文库方田術曰：廣從步數相乘得積步。此積謂田冪。凡廣從相乘謂之冪。臣淳風等謹按：經云「廣從相乘得積步」，注云「廣從相乘謂之冪」，觀斯注意，積冪義同。以理推之，固當不爾。何則？冪是方面單布之名，積乃眾數聚

5、居之稱。循名責實，二者全殊。雖欲同之，竊恐不可。今以凡言冪者據廣從之一方；其言積者舉眾步之都數。經云相乘得積步，即是都數之明文。注云謂之為冪，全乘積步之本意。此注前云積為田冪，於理得通。復云謂之為冪，繁而不當。今者注釋存善去非，略為料簡，遺諸後學。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。臣淳風等謹按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。餘術不復言者，從此可知。按：一畝田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，即每行廣步而從十六步。又橫而截之，令為十六行，即每行廣一步而從十五步。此即廣從相乘得積步，驗矣。二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得。〔三〕今有田廣一里，從一里。問：為田

6、幾何？荅曰：三頃七十五畝。〔四〕又有田廣二里，從三里。問：為田幾何？荅曰：二十二頃五十畝。里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。按：此術廣從里數相乘得積里。故方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得畝數也。〔五〕今有十八分之十二。問：約之得幾何？荅曰：三分之二。〔六〕又有九十一分之四十九。問：約之得幾何？荅曰：十三分之七。約分約分者，物之數量，不可悉全，必以分言之。分之為數，繁則難用。設有四分之二者，繁而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一也。雖則異辭，至於為數，亦同歸爾。法實相推，動有參差，故為術者先治諸分。術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，以

7、少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。等數約之，即除也。其所以相減者，皆等數之重疊，故以等數約之。〔七〕今有三分之一，五分之二。問：合之得幾何？荅曰：十五分之十一。〔八〕又有三分之二，七分之四，九分之五。問：合之得幾何？荅曰：得一、六十三分之五十。〔九〕又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問：合之得幾何？荅曰：得二、六十分之四十三。合分臣淳風等謹按：合分知，數非一端，分無定準，諸分子雜互，羣母參差，麄細既殊，理難從一。故齊其眾分，同其羣母，令可相并，故曰合分。術曰：母互