量子力学中算符构造矩阵的方法-黄鹏辉

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1、算符构造矩阵的方法黄鹏辉黄鹏辉-物理(644537151)20:59:37各位，我来给大家介绍一下算符构造矩阵的方法吧黄鹏辉-物理(644537151) 21:02:51 首先，我们看看 算符本征方程及其取值黄鹏辉-物理(644537151) 21:03:47 任意算符的本征方程为，   (7.1.1)黄鹏辉-物理(644537151) 21:04:37 的本征值可能有无穷多个，一般表示为，   (7.1.2)黄鹏辉-物理(644537151) 21:05:25 相应的本征函数表示为，    (7.1.3)黄鹏辉-物理(644537

2、151) 21:07:27 这样，每个本征值及其相应的本征函数就构成无穷个等式，   …       (7.1.4) 黄鹏辉-物理(644537151) 21:09:27 这里我们将以四个本征值和本征函数为例来做说明，这样，(7.1.4)就只有四个等式，(7.1.5)黄鹏辉-物理(644537151) 21:10:27 以上的内容是量子力学中的基本内容，相当于是我们的已知条件。我们就是要根据这些条件来构建矩阵黄鹏辉-物理(644537151) 21:12:13 下面我们来看看现有教材中构建矩阵的方法，这个方法的核心思想是保证构建的矩

3、阵满足(7.1.1)和(7.1.5)黄鹏辉-物理(644537151) 21:14:39 第一步，我称之为“状态不相容原理”黄鹏辉-物理(644537151) 21:15:08 我们从公式出发来构建6黄鹏辉-物理(644537151) 21:16:36 考虑为列矩阵，那么式就成为如下形式，        (7.1.6)黄鹏辉-物理(644537151) 21:18:12 对于其他三个本征函数的列矩阵也是一样，只是各个本征函数在列矩阵中的位置不同，        (7.1.7)黄鹏辉-物理(644537151) 21:18:54 这种

4、方法的每个列矩阵都只能容纳一个本征函数，这有些类似于“泡利不相容原理”，所以我称之为“状态不相容原理”，因为每个本征函数描述了系统的一个状态。Wind-Physics 21:20:29 能打扰一下么，这不和正交一样的么黄鹏辉-物理(644537151) 21:21:26 不急，是不是和正交一样，我暂时不关心，我现在只关心构造出符合要求的矩阵方程黄鹏辉-物理(644537151) 21:20:59 大家注意，前面(7.1.6)中还没有确定的是什么？黄鹏辉-物理(644537151) 21:22:49 现

5、在(7.1.6)中还没有确定的就是，下面我们的工作就是要确定黄鹏辉-物理(644537151) 21:23:39 这就是我要说的第二步，我称之为“本征值不相容原理”黄鹏辉-物理(644537151) 21:24:15 确定的方法是什么？黄鹏辉-物理(644537151) 21:24:29 是矩阵乘法规则，也就是公式        (7.1.8)黄鹏辉-物理(644537151) 21:26:06 要满足(7.1.6)，有几种可能性？应该有三种可能性：6黄鹏辉-物理(644537151) 21:27:12 第一种是根据矩阵乘法公式，为

6、的行矩阵；黄鹏辉-物理(644537151) 21:28:54 根据这种可能性，行矩阵可以是如下四种情况，黄鹏辉-物理(644537151) 21:30:08 但是这种方法只是“大致满足”(7.1.5)的矩阵方程，为什么？黄鹏辉-物理(644537151) 21:30:46 因为结果为等式左边的各个矩阵是不相同的，这与(7.1.5)的矩阵方程不符合，这是一个小问题。后面我们再去解决黄鹏辉-物理(644537151) 21:32:44 第二种是根据矩阵乘法公式 ，为的方阵；黄鹏辉-物理(644537151) 21:34:09 根据这种

7、可能性，矩阵可以是如下四种情况，黄鹏辉-物理(644537151) 21:35:40 这种情况下得到的矩阵方程是6黄鹏辉-物理(644537151) 21:36:40 但是，这种矩阵方程也只是“大致满足”(7.1.5)的，为什么？黄鹏辉-物理(644537151) 21:37:17 我们来看看(7.1.5)黄鹏辉-物理(644537151) 21:37:59 (7.1.5)要求的在各个等式中应该是相同的黄鹏辉-物理(644537151) 21:38:56 但是，上面给出的各个等式中的不相同，所以我们要想办法做到相同黄鹏辉-物理(64

8、4537151) 21:39:54 怎么做到相同？那就是合成一个F的对角矩阵，也就是这就是“算符矩阵”。这个公式清楚地表明了算符就等于矩阵，这实际上就说明了有算符构成的波动力学，与矩阵力学是等价的。黄鹏辉-物理(644537151)