新题库--第九章 第08节：球

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1、球题型1球中的有关计算1．正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积.解：如图，PD是三棱锥的高，则D是ΔABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径。AD＝AB＝，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA2＝PD·PE＝＝，R＝，∴S球＝π(cm)2.2．在球心同侧在相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2．求球的表面积．解：如图9-8-12为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且若O1、O2分别为

2、两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥OB2．设球的半径为R．∵π·O2B2=49π，∴O2B=7(cm)。同理πO1A2=400π．∴O1A=20(cm)．设OO1=xcm，则OO2=(x+9)cm.。在Rt△OO1A中，R2=x2+202,在Rt△OO2Bk,R2=(x+9)2+72,∴x2+202=72+(x+9)2,解得x=15．∴R2=x2+202=252.∴R=25.∴S球=4πR2=2500π(cm2),∴球的表面积为25000πcm2.3．如图8－12，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，P

3、B，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解：如图8－12，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。由正弦定理，得=2r,∴r=a。又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，∴OO′=R－a=d=,(R－a)2=R2–(a)2，解得R=a

4、,∴S球=4πR2=3πa2。4．把地球当做半径为R的球，地球上的两点A、B的纬度都是北纬45°，A、B两点间的球面距离为R，A在东经20°处，求B点的位置．解：如图9-8-7，因为A、B的球面距离是指过A、B的大圆的劣弧长，所以∠AOB=，因此AB=R。过A、B分别向赤道平面作垂线，垂足为，，=AB，O=OA·cos45°，故O=O=R．在△O中，O=O=R，=R5，∠O=90°，∵A在东经20°处，∴B点的位置在20°±90°处，即在北纬45°、东经110°或北纬45°、西经70°处．5．设地球的半径为R，在北

5、纬45°圈上有两个点A、B，A在西经40°，B在东经50°，求A、B两点间纬线圈的弧长及A、B两点间的球面距离．解：如图9-8-8，设45°纬度圈中心为O1，地球中心为O，则∠AO1B=40°+50°=90°。又∵OO1⊥圆O1所在平面，∴OO1⊥O1A，OO1⊥O1B．又∵A、B在北纬45°圈上，∴∠OBO1=∠OAO1=45°．∴O1A=O1B=O1O=OA·cos45°=R.∴在直角△AO1B中，∵AO1=BO1，∴AB=AO1=R．∴△AOB为等边三角形．∴∠AOB=．（∴在45°纬线圈上，AB弧长为AO1

6、=·R=πR．（此时是小圆上的弧长）在球面上，A、B两点的球面距离为AB弧长=

7、α

8、·AO=R．（此时是大圆上一段劣弧长），∴A、B两点间纬线圈的弧长为πR，A、B两点间的球面距离为R．6．求证：过球O内一定点P的诸弦，被点P分成的两线段之积是一个定值．证：设过点P的任意一弦为AB（AB不是直径），过点P的直径为MN，且MN=2R，OP=d．在MN、AB所在的大圆截面中，由相交弦定理，AP·PN=(R+d)·(R-d)=R2-d2.当AB为直径时也成立，∴AP·PB=R2-d2为一定值．7．在桌面上有三个球两两相切

9、，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.解：球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O1O2O3平面的垂线，垂足为H，它一定是ΔO1O2O3的中心，连接O1H，O1O。在RtΔO1OH中，O1H＝，OH＝1-r,OO1＝1+r,∴OO12＝O1H2+OH2，即(1+r)2＝()2+(1-r)2，解得r＝.8．地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度差为，求球面上A、B两点间球面距离.解：本题关键是求出∠AOB的大小，(如图1)。将这个球的截面问题转化

10、为较为熟悉的长方体问题.如图2，以O1O，O1A，O1B为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求∠BOA的问题.∵∠O1OA＝＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝R∴AB2＝O1A2+O1B2＝R。∴ΔAOB为等边Δ，∴∠AOB＝，A、B间的球面距离为R.9．两面都是凸形镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10