量子力学_门福殿_近似方法习题解

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1、第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》第五章近似方法1．一维无限深势阱宽度为，其势能函数为是个很小的常数，把此势阱中的粒子看成是受到微扰的一维无限深势阱中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。解：无微扰时的本征函数为对应的能量本征值为：能量的一级修正为：波函数的一级修正：现在来求：将此式代入上式可得波函数的一级修正第23页共23页第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》2．一维无限深势阱（）中的粒子受到微扰：的作用，求基态能量的一级修正。解：本题是一维非简并问题，无微扰时

2、的能量本征函数（1）能量本征值（2）对基态，计算能量的一级修正量时，因微扰是分段连续的，因而要求两个积分式的和利用定积分公式：（4）代入（3）；得附带地指出：对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K个激发态的一级修正：3．一个粒子在二维无限深势阱中运动，设加上微扰求基态及第一激发态的能量修正。[解]二维无限深势阱的定解与一维相类似，因为x,y第23页共23页第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》方向运动是独立的，能量的零级本征函数是两个一维无限深势阱波函数乘

3、积：式中是指波数，阱壁的约束条件即周期性边界条件是：因而零级本征函数可用m,n表示：（1）粒子总能量则可设，，或（2）可见波函数是高度简并的（L.Pauling.E.BWilson;IntroductiontoQuantumMechanics1951.P98~P100）,本题不讨论其简并度的公式。但基态（m=1，n=1能级最低的二维运动）是没有简并的。(基态能量一级修正量)；这时（3）利用定积分公式：（4）或者：（5）代入（3）第23页共23页第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》（第

4、一激发态一级能量修正量）：第一激发能态是指m=1,n=2,和m=2,n=1的二重简并态，这时的简并能级是：(6)简并的能量本征函数有二个：我们用简并态微扰法求能级，设有微扰后的零能级本征函数是代入有微扰的能量本征方程式：约去相等项，利用的正交归一性，可得的线形方程组：由两式得到非平凡解的条件：（9）现在分别计算所需的矩阵元；积分公式可以用（4）或者（5）（10）第23页共23页第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》（11）代入久期方程式（9）得到：（12）零级波函数的决定可以用先代入方

5、程式（7）或（8），伴同正交归一化条件可求得，再用代入（8），伴同可求得，。4．一维谐振子的哈密顿为假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H’=1/2bx2，试用微扰论计算H’对能量的一级修正，并与严格解比较。[解]用非简并微扰法，计算微扰矩阵元：（质量记作μ）已知，能级本题中，（1）引用习题（1）所用的谐振子递推公式：第23页共23页第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》(2)代入（1），再利用正交归一性。（3）再计算能量二级修正量，为此要计算指标不同的矩阵元，用（2）式：再利用谐振

6、子零能级本征值公式（但）（4）因此用微扰法算得的，正确到二级修正值的能量是：（5）如果用严格的本征方程式求解，则本题中和的势能为同类项可以合并，哈氏算符为（6）第23页共23页第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》直接看出，它的严格的能级是：（7）与近似（5）比较，发现近似值的绝对误差是：在基态的情形，可令，4．设非简谐振子的哈密顿量为：（为常数）取，，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。（解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章§9.1公式，从§3.3知道一维谐振子波

7、函数是：，但（1）（2）但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而必定是个偶函数。（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：一级波函数修正值：据§9.1公式[12b]第23页共23页第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》（3）微扰矩阵元要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于的一个递推公式（，问题2）：（4）将此式遍乘，再重复使用（4）再将此式遍乘，重复使用（4）式=（6）利用公式（6）来计算微扰矩阵元：将（6）式中的换成代入前一式，

8、并注意是正交归一化的，即第23页共23页第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》是固定指标，故只有当取下述四值时不为零，即但要注意，当取用一个值时，就不能再取其他值，所以取定后的非零值是（7）式中某个的系数。（3）的求和是式只有四项。有：，，，（9）将（7）和（9）所决定的诸值代入（3）二能级量本征值修正量：按二级近似式是（11）其中，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项：第23页共23页第五章近似方