自考线性代数(经管类)笔记-重点解析

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1、《线性代数（经管类）》考试笔记，重点解析武汉大学出版社2006年版第一章行列式1.1行列式的定义1.2行列式行(列)展开1.3行列式的性质与计算1.3克拉默法则第二章矩阵2.1线性方程组与矩阵的定义2.2矩阵运算2.3分阵的逆矩阵2.4分块矩阵2.5矩阵的初等变换与初等方阵2.6矩阵的秩2.7矩阵与线性方程组第三章向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.2线性相关与线性无关3.3向量组的秩3.4向量空间第四章线性方程组4.1齐次线性方程组4.2非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量5.1特征值与特征向量5.2方阵的相似变换5.3向量内积和正交矩阵5.4实

2、对称矩阵的相似标准形第六章实二次型6.1实二次型及其标准形6.2正这二次型和正定矩阵第一部分　行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。1.1　行列式的定义1.1.1　二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式19例1.求二元一次方程组的解。解：应用消元法得当时。得同理得定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：例2　二阶行列式的结果是一个数。我们称它为

3、该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程若，能解出19其中要满足为解出。在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。定义1.1.1在三阶行列式中，称19于是原方程组的解为;类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例3计算19例4（1）（2）例5当x取何值时，？为将此结果推广到n元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。1.1.2　阶行列式的定义定义1.1.2当n时，一阶行列式就是一个数。当时，称为n阶行列式。定义（其所在的位置可记为的余子

4、式19的代数余子式。定义为该n阶行列式的值。即。容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。n阶行列式为一个数。例6求出行列式第三列各元素的代数余子式。例7（上三角行列式）191.2　行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例1下三角行列式＝主对角线元素的乘积。例2计算行列式例3求n阶行列式19小结1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。2.二阶行列式的定义。3.阶行列式的定义。即。4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。1.3　行列

5、式的性质及计算1.3.1　行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。性质1转置的行列式与原行列式相等。即性质2用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。19推论1若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论2若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例设推论3若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。证设中，第i行与第j行元素完全相同，则所以，D=0。性质4若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则

6、行列式的值为零。19性质5若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即只要看注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。可见性质6把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。证(任两行成比例则行列式为零）.191.3.2　行列式的计算人们认识事物的基本方法是化未知为已知。对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。因此，我们计算行列式的基本方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。例1计算在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质6。例2计

7、算例3计算19例4计算（互换行列式的两行，值异号）例5计算扩展计算19例6计算方法1方法2扩展：计算例7计算19例8计算扩展：计算例9计算n阶行列式解按第一列展开，得例10范德蒙行列式……19.例11计算例12证明小结1.准确叙述行列式的性质；2.应用行列式的性质计算行列式的方法（1）低阶的数字行列式和简单的文字行列式；（2）各行元素之和为相同的值的情况（3）有一行（列）只有一个或两个非零元的情况1.4　克拉默法则19这一节将把二元一次方程组解的公式推广到n个未知数，n个方程的线性方程组。为此先介绍下面的定理。定理1.4.1对于n阶行列式证由定理1.2.1

8、知，注意改变第二列的元素，并不改变第二列元素的代数余子式类似地，可