《现代数字信号处理》第2章习题答案

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1、《现代数字信号处理》习题答案第二章离散随机信号分析基础2.1设x是均值为m，方差为2的随机变量，x,1,2,...,i=N是x的N个独立观测值。xσxiNN1212(a)若定义样本均值mˆx=∑xi,则样本方差估计σˆx=∑(xmix−ˆ)是否是无偏的？即Ni=1Ni=1E{σˆ2}=σ2？xx222(b)若x是高斯随机变量，试求样本方差估计的方差E{(σˆ−E{}σˆ)}。xx解：N11(a)Em{}ˆx==∑Ex{}ixNmm=x,mˆx是无偏的。记mxˆx=。NNi=1由于各样本x是独立同分布的，故有：i2⎧⎡⎤⎫NNN22⎧⎫11⎪⎢N−11⎥⎪E

2、Ex{}σˆxi=−⎨⎬∑∑∑()xE=⎨⎢()()xi−mx−xj−mx⎥⎬⎩⎭NNii==11⎪NNj=1⎪⎢⎣ji≠⎥⎦⎩⎭221⎡⎤(NN−−1)22(1)N−−N2(N1)2=+=⎢⎥σσNσσ=22xx2xxNN⎣⎦NNN因此，它是有偏的，但渐进无偏。或者，NN22112EE{}σˆxi=−∑∑{}(xxE)=−{}[(ximx)(−x−mx)]NNii==11N122=−∑⎡⎤⎣⎦Exm{}(ix)−2Exmxm{}(ix−)(⋅−x)+Exm{}(−x)Ni=1N12⎡⎤2221N−12=−∑⎢⎥σσσxxx+=σxNNi=1⎣⎦NN⎧⎫⎪

3、⎪⎛⎞−22$22$222N1⎧$$42NN−−1(21)4⎫(b)EE{()σσxx−={}}E⎨⎬⎜⎟σσˆxx−=−E⎨σx2σσxx+2σx⎬⎪⎪⎩⎭⎝⎠N⎩⎭NN2242NN−−11(2N−1)444(1N−)=−E{}σˆx2σσxx+2σx=E{}σσˆxx−2（）INNNN4关键是求E{σˆ}=?，首先得：x⎧⎫NN⎧⎫NN4112222σˆxij=−−22⎨⎬∑∑()xxx⎨⎬()x=−∑∑()xix()xj−xNN⎩⎭ij==11⎩⎭i=1j=122对于高斯随机变量，Exxxx()−−(){ij}222=−ExxExx{()ij}{()

4、−+}2⎡⎤⎣⎦Exxxx{()i−−()j}NN−−112222=+σσxx2⎡⎤⎣⎦Exx{}ijij−ExxExxEx{}−{}+{}NN2222222(1NN−−)42⎛⎞σσσxxx(1)4⎛⎞14=+σ2⎜⎟δσ−−+=+σ2⎜⎟δ−σ22xijxxijxNN⎝⎠NNN⎝⎠N-1-《现代数字信号处理》习题答案222(1NNN−−−)44⎛⎞1(1)4当i=j时，上式=+=σ23⎜⎟σσ22xxxNNN⎝⎠22(1NN−−)44223N+4当i≠j时，上式=+σσσ=22xxx2NNNNN4122所以有，Ex{}σˆxi=−2∑∑()x()xj−

5、xNij==11221(1NN−−)4423N+=+NN223σx()N−12σxNNN2223(NN−+−1)(1)(N−+2NN3)44−1==σσ32xxNN22222N−14()NN−−124()14代入（I）式得：EE()σˆˆ−=−={}σσσσ{xxx}22x2xNNNN→∞，估计的方差→0，所以样本方差估计是渐进无偏的。2.2设x()n是零均值平稳随机过程，自相关为rk()。构造随机过程y()n为：y(n)=x(n)+f(n)，x其中f()n是已知的确定性序列。试求y()n的均值mn()和自相关rkl(,)。yy解：mnExnfn()=+=

6、{()()}fn()y∗***rklEykyly(),(=={)()(}Exkfkxlfl{⎡⎤⎣⎦)++()⎡⎤⎣⎦()()}=rklfkflx()−+()()p22.3设离散时间随机过程x()n是如下产生：x(n)=∑a(k)x(n−k)+w(n)，其中wn()是方差为σwk=12的白噪声过程。另一个过程z(n)是x()n与噪声之和：zn()=xnvn()()+,vn()是白差为σ的v白噪声，且与wn()不相关。试求：(a)x()n的功率谱；(b)zn()的功率谱。11**22解：(a)Hz()==p,PzHzHxw()=()()1/zσσw2p−k1

7、−∑akz()1−∑ake()−jkωk=1k=12(b)PzPz()=+()σzxv11−1−12.4设给定一个线性移不变系统，其系统函数为Hz()=−(1z)/(1−z)，它受零均值的指数231k相关噪声x(n)的激励产生随机过程y()nx=()()nh∗n。已知x(n)的自相关序列为rx(k)=()，2试求：(a)y()n的功率谱Pz()；(b)y()n的自相关序列rk()；yy(c)x()n和y()n之间的互相关rk()；(d)互功率谱Pz()，它是互相关rk()的z变换。xyxyxy解：(a)x(n)的功率谱为：∞∞∞−−kkk11kk1131P

8、zxx()==+∑∑∑rkz()()22z()z−1=11−−11