2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测:5-4数列求和 Word版含解析

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1、[课时跟踪检测] [基础达标]1.已知等比数列{an}的各项均为正数,a1=1,公比为q;等差数列{bn}中,b1=3,且{bn}的前n项和为Sn,a3+S3=27,q=.(1)求{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足cn=,求{cn}的前n项和Tn.解:(1)设数列{bn}的公差为d,∵a3+S3=27,q=,∴q2+3d=18,6+d=q2,联立方程可求得q=3,d=3,∴an=3n-1,bn=3n.(2)由题意得,Sn=,cn==××=-,∴Tn=1-+-+-+…+-=1-=.2.(2017届广州综合测试)已知数列{an}是等比数列,a2=4,a3+2是a2和

2、a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2log2an-1,求数列{anbn}的前n项和Tn.解:(1)设数列{an}的公比为q,因为a2=4,所以a3=4q,a4=4q2.因为a3+2是a2和a4的等差中项,所以2(a3+2)=a2+a4,即2(4q+2)=4+4q2,化简得q2-2q=0,因为公比q≠0,所以q=2,所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n(n∈N*).(2)因为an=2n,所以bn=2log2an-1=2n-1,所以anbn=(2n-1)2n,则Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,①2Tn=1×

3、22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)·2n+1,②由①-②得,-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)2n+1=2+2×-(2n-1)2n+1=-6-(2n-3)2n+1,所以Tn=6+(2n-3)2n+1.3.Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,a+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.解:(1)由a+2an=4Sn+3,①可知a+2an+1=4Sn+1+3,②②-①,得a-a+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=a-a=(an+1+an)(an+1-an)

4、.由an>0,得an+1-an=2.又a+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn===.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn=++…+=.4.(2018届湖南八校联考)已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2(bn+1-bn)(n∈N*).(1)若a1=1,bn=3n+5,求数列{an}的通项公式;(2)若a1=6,bn=2n(n∈N*)且λan>2n+n+2λ对一切n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.解:(1)因为an+1-an=2(

5、bn+1-bn),bn=3n+5,所以an+1-an=2(bn+1-bn)=2(3n+8-3n-5)=6,所以{an}是等差数列,首项为a1=1,公差为6,即an=6n-5.(2)因为bn=2n,所以an+1-an=2(2n+1-2n)=2n+1,当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n+2n-1+…+22+6=2n+1+2,当n=1时,a1=6,符合上式,所以an=2n+1+2,由λan>2n+n+2λ得λ>=+.因为-=≤0,所以当n=1,2时,取最大值,故λ的取值范围为.[能力提升]1.已知数列{an}的首项为a1=1,前n

6、项和为Sn,且数列是公差为2的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)由已知得=1+(n-1)×2=2n-1,所以Sn=2n2-n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.a1=1=4×1-3,所以an=4n-3,n∈N*.(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3).当n为偶数时,Tn=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数,Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)

7、=-2n+1,综上,Tn=2.在数列{an}中,已知an>1,a1=1+,且an+1-an=,记bn=(an-1)2,n∈N*.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Sn,证明:≤+++…+<.解:(1)因为an+1-an=,所以a-a-2an+1+2an=2,即(an+1-1)2-(an-1)2=2.又bn=(an-1)2,n∈N*,所以bn+1-bn=2,数列{bn}是以b1=(1+-1)2=3为首项,2为公差的等差数列,故bn=2n+1

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