2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-4数列求和 Word版含解析

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1、[课时跟踪检测]　[基础达标]1．已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n项和为Sn，a3＋S3＝27，q＝.(1)求{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{bn}的公差为d，∵a3＋S3＝27，q＝，∴q2＋3d＝18,6＋d＝q2，联立方程可求得q＝3，d＝3，∴an＝3n－1，bn＝3n.(2)由题意得，Sn＝，cn＝＝××＝－，∴Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.2．(2017届广州综合测试)已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和

2、a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{an}的公比为q，因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4，即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0，因为公比q≠0，所以q＝2，所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，所以anbn＝(2n－1)2n，则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2Tn＝1×

3、22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1，②由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.3．Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，②②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)

4、．由an>0，得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝.4．(2018届湖南八校联考)已知数列{an}与{bn}满足an＋1－an＝2(bn＋1－bn)(n∈N*)．(1)若a1＝1，bn＝3n＋5，求数列{an}的通项公式；(2)若a1＝6，bn＝2n(n∈N*)且λan>2n＋n＋2λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)因为an＋1－an＝2(

5、bn＋1－bn)，bn＝3n＋5，所以an＋1－an＝2(bn＋1－bn)＝2(3n＋8－3n－5)＝6，所以{an}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，即an＝6n－5.(2)因为bn＝2n，所以an＋1－an＝2(2n＋1－2n)＝2n＋1，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2，当n＝1时，a1＝6，符合上式，所以an＝2n＋1＋2，由λan>2n＋n＋2λ得λ>＝＋.因为－＝≤0，所以当n＝1,2时，取最大值，故λ的取值范围为.[能力提升]1．已知数列{an}的首项为a1＝1，前n

6、项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由已知得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.a1＝1＝4×1－3，所以an＝4n－3，n∈N*.(2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)．当n为偶数时，Tn＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n－7)＋(4n－3)]＝4×＝2n；当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)

7、＝－2n＋1，综上，Tn＝2．在数列{an}中，已知an>1，a1＝1＋，且an＋1－an＝，记bn＝(an－1)2，n∈N*.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，证明：≤＋＋＋…＋<.解：(1)因为an＋1－an＝，所以a－a－2an＋1＋2an＝2，即(an＋1－1)2－(an－1)2＝2.又bn＝(an－1)2，n∈N*，所以bn＋1－bn＝2，数列{bn}是以b1＝(1＋－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列，故bn＝2n＋1