2003年高考数学试题(北京文)及答案-2003年高考数学试题

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1、2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长.球体的体积公式：，其中R表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设集合等于（）A．B．C．D．2．设，则（）A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3D．y1>y3>y23．“”是“”的（）A．必要非充分条B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．已知α，

2、β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m//nB．若m∥n，α∩β=n，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，，则α⊥β5．如图，直线过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．若且的最小值是（）A．2B．3C．4D．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A．B．C．D．8．若数列的通项公式是，则等于（）A．B．C．D．9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（

3、）A．24种B．18种C．12种D．6种10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为.12．函数中，是偶函数.13．以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是14．将长度为1的铁丝

4、分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的最大值、最小值.16．（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列前n项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论.

5、18．（本小题满分15分）如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点.（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M.求证：点M在双曲线上.19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20．

6、（本小题满分14分）设是定义在区间上的函数，且满足条件：（i）（ii）对任意的（Ⅰ）证明：对任意的（Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1．A2．D3．A4．A5．D6．B7．C8．B9．B10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．312．13．14．三、解答题：本大题共6小题，共84分

7、.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为所以的最小正周期（Ⅱ）解：因为所以的最大值为,最小值为－16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列公差为，则又所以（Ⅱ）解：由得①②将①式减去②式，得所以17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分15分.（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥

8、BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥