魔术师的地毯问题

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1、魔术师的地毯一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形．敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做．”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了．魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1

2、米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米，只是上面烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿．秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米．敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到．秋先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起缝好．敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却消失了．魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还

3、在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方．这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法．这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密．例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法—数学计算，即通过

4、精细的数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何处．现在我们先来分析第一个魔术。比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（图1.6），而将图1.3中相应的四块分别记为，，，（图1.7）．现在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”、“不重不漏”？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的为直角三角形，如果时，点是否恰好落在矩形的对角线上？同样，如果时，点是否恰好落在上？让我们通过计算来回答这个问题．如图1.8建立直角坐标系，以所在直线为轴，所在直线为轴，单位长度表示0.1米，于是有（0，0），（0，21），（8，21），（8，0

5、），（0，13），（5，13），（3，8），（8，8）．如何判断和是否恰好落在直线上呢？一种办法是，的坐标代入直线的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算，，的斜率，比较它们是否相等．下面用后一种方法进行讨论．设线段的斜率为，则有，，．比较之，由得，即的斜角大于的斜角，的斜角又大于的斜角，可见和都不在对角线上，它们分别落在的两侧（图1.8）：又由，得，，即，．可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形（图1.8）．正是这一微小的重叠导致面积减少，减少的正是这个重叠的的面积．记（3，8）到对角线（）的距离为，米，米，．把面积仅为0.01平方米的地毯拉

6、成对角线长为米（约2.247米）的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”．如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即5，8，13，21，这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数．按照这个规律，5前面应该是（8－5＝）3，3前面应是（5－3＝）2，2前面应是（3－2＝）1，1前面应是（2－1＝）1，21后面应为（13＋21＝）34，34后面应为（21＋34＝）55，等等，于是得到数列1，1，2，3，5，8，13，21，

7、34，55，…这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项．我们称这个数列为斐波那契数列．魔术师的上述第一个地毯魔术中的四个数5，8，13，21只是斐波那契数列中的一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，我们取出数字更小的一段3，5，8，13来试一试．把边长为8的正方形按图1.9分成四块，再拼成边长为5和13的矩形（图1.10）．