2、,*>是否构成环,交换环,含幺环,整环,域.根据有关定义需要检验的条件有:条件1S构成交换群,条件2构成关群,条件3*对°运算的分配律,条件4*对运算满足交换律,条件5*运算有幺元,条件6*运算不含零因子——消去律，条件7有（对*运算）.其中环的判定涉及条件1,2和3;交换环的判定涉及条件1,2,3和4;含幺环的判定涉及条件1,2,3和5;整环的判定涉及条件1-6;而域的判定则涉及全部7个条件.3°判定偏序集或代数系统是否构成格、分本配格、有补格和布尔格.若为偏序集,首先验证和是否属于S.若满足条件则S为格,且
3、构成代数系统.若是代数系统且°和*运算满足交换律、结合律和吸收律，则构成格。在此基础上作为分配格的充分必要条件是不含有与图6.3所示的格同构的子格。而有补格和布尔格的判定只要根据定义进行即可。注意对于有限格，只要元素个数不是2的幂，则一定不是布尔格。但元素个数恰为的有限格中只有唯一的布尔格。以本题为例具体的判定过程如下：（1）由可知对+运算不封闭，根本不构成代数系统。（2）由可知对*运算不封闭，也不构成代数系统。（3）关于运算封闭，构成代数系统。且关于模n加法满足交换群的定义，关于模n乘法*满足关群的定义，且*对有分配律。因而构成
4、环。但当n=6时，有中含有零因子2和3，不是整环，也不是域。类似地分析可知，当n为合数时，不是域，但n为素数时构成域。（4）是偏序集。对于小于等于关系，显然有，构成格。但不是有补格，2和3没有补元，也不是布尔代数。（5）容易验证关于矩阵加法构成群。6．2A:②;B:③;C:⑦;D:⑩;E:⑨分析此处的G实际上是关于模n加法构成群，但关于模n乘法只构成独导点，而不构成群，因为0没乘法逆元。是循环群。2是2阶元，1和3是4阶元。如何求群G中元素的阶？如果，则是n的正因子。首先找到n的正因子，并从小到大列出来，然后依次检查每相正因子r。
5、使得的最小的正因子r就是x的阶。本题的4的正因子是1，2，4。由于所以，。类似地有而6.32A:②;B:④;C:⑤;D:⑦;E:⑧分析（1）根据布尔代数定义可知和运算适合交换律、结合律、幂等律、分配律、D·M律等，适合消去律。，所以，0是V运算的幺元，1是V运算的零元。由于在布尔代数的表示中，0和1是作为代数常数列出来的，所以，最小的子布尔代数应包含所有的代数常数。经验证恰构成子布尔代数，因而是最小的子布尔代数。（2）表达式的等价式与对偶式是两个要领,应加以区别.容易看出,由吸收律、交换律、分配律有=吸收集=交换集=分配律这说明该
6、表达式与是等价的，而其他两个表达式都不满足要求。6.4易证Z对°运算是封闭的，且对任意有结合律成立。2是°运算的幺元。是x关于°运算的逆元。综合上述，构成群。6.5根据矩阵乘法可以得到G的运算表如下：·abcdabcdabcdbadccdbadcab由运算表可以看出a是幺元。又由。知道当与G中元素x的阶相等时，有。因此G是4阶循环群。G的子群有三个。令，则的哈斯图如图6.4所示。分析这里对怎样求一个循环群的生成元和子群做一点说明。1°若是无限循环群，那么G只有两个生成元，即和。G的子群有元数多个，它们分别由生成。这里的可
7、以是0，1…。将生成子群的元素列出来就是该子群也是一个无限循环群。不难证明当时，子群。例如，是n阶循环群，那么。G的生成元有个，这里的是欧拉图函数，即小于等于n且与n互素的正整数个数。求生成元的方法是：先找到所有有小于等于n且与n互素的正整数.对于每个这样的正整数r,就是G的d阶子群.以本题为例.,与4互素的数是1和3.因此的生成元是再考虑子群.4的正因子是1,2,4所以,G的子群有3个,即1阶子群2阶子群4阶子群根据包含关系不难得到图6.4所示的哈斯图.6.6对普通加法和乘法是封闭的,且加法满足交换律,结合律,乘法满足结合律,第
8、六法对加法满足分配律.又知道加法的幺元是0,是的负元.从而关于加法和乘法构成环.容易看出这是一个整环,但不是域.6.7(1)不是格,(2),(3)和(4)都是格.6.8任取由S的性质有,S关于是封闭的,构成代数系统容易验证运算满足结合律.幺元是0,
