初中数学竞赛教程23、质数与合数

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1、2013年暑期初一数学竞赛第二十三讲：质数与合数【知识要点】1、一个大于1的正整数，若仅有1和这两个正约数，则叫做素数（也可以叫做质数），若还有其他的正约数，则叫做合数。2、素数和合数有以下性质：（1）除2以外的所有偶数，都是合数；（2）2是唯一的偶素数，除2以外，所有素数都是奇数；（3）若素数，则必有或；（4）若正整数、的积是素数，则必有或。3、算术基本定理（唯一分解定理）：任一整数，可以分解成，其中是互不相等的素数，是正整数，则的正约数的个数为。【例题精选】例1、有四个数，一个是最小的奇素数，一个是偶素数，一个是小于30的最大素数，另一个是大于70的最

2、小素数，求它们的和。变式、（2005年希望杯试题）（1）如果a是小于20的质数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？（2）如果a是小于20的合数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？例2、若、都是素数，且，试求的值。变式1、设、、都是质数，并且，，求．变式2、若为素数，则仍为素数，则为（）A、素数B、可为素数也可为合数C、合数D、既不是素数也不是合数例3、有人说：“任何七个连续整数中一定有素数。”请你举一个例子，说明这句话是错误的。变式、是否存在连续88个自然数都是合数？例4、证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和．变式、设p(≥5)

3、是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．例5、整数240能被多少个不同的自然数整除？变式、（希望杯试题）若为整数，则使得方程的解也是整数的值有（）A、4个B、8个C、12个D、16个例6、41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？若能办到，请举例说明；若不能办到，请说明理由。例7、有一块地能被块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需块这样的地砖才

4、能覆盖该块地，已知及地砖的边长都是整数，求的值。【巩固拓展】1、在2005，2007，2009这三个数中，质数有（）A、0个B、1个C、2个D、3个2、下面给出的数中，其值为素数的是（）A、B、12345678987654321C、1111119111111D、3、将1995表示为两个素数之和的方法的种数是（）A、1种B、2种C、3种D、4种4、三个不同的素数、、，满足，则的最小值是（）A、5B、6C、30D、105、一个三角形的三条边长分别是、、(、、都是质数)，且，则这个三角形的形状是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、直角三角形或等腰三

5、角形6、若是正数，表示不超过的素数的个数，如，即表示不超过5.1的素数有2，3，5共3个，那么的值是（）A、12B、11C、10D、97、已知是素数，是奇数，且，则。8、在锐角△ABC中，三个内角的度数都是素数，则△ABC是三角形。9、已知、、都是质数，且，那么满足以上条件的最小质数；。10、已知是素数，是奇数，且，则。11、已知质数、满足，则。12、若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为(是最大的质因数的序号)，则的值是　　　　。13、已知三个质数，，的乘积等于这三个质数的和的5倍，则=．14、在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个素数，

6、个合数，个奇数，个偶数，则。