全部 计数原理

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1、选2-3第一章计数原理《标准》内容：分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列、组合、二项式定理通过计数原理的教学，使学生掌握两个基本计数原理、排列、组合、二项式定理及其应用，会解决简单的计数问题；体验计数与现实生活的联系，充分体会两个基本计数原理在解决实际问题时的工具作用。《标准》要求：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。（2）排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用

2、计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。（3）二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。教学建议：关于计数原理的教学，应注意以下问题：1．教学中，应通过实例，引导学生总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，理解排列、组合的概念。2．教学中，引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。同时，应避免繁琐的、技巧性过高的计数原理。3．在二项式定理的教学中，可以介绍我国古代数学成就“杨辉三角”，以丰富学生对数学文化价值的认识。内容解析：（1）分

3、类加法计数原理、分步乘法计数原理A级水平参考案例：案例1.高一级某班有男生19人，女生23人。（1）若要从中任选一人参加学生代表大会，有多少种不同的选法？（2）若要选一名男生和一名女生参加，有多少种不同的选法？案例解析：（1）要从全班当中任选一人参加，可以从男生中选一人，有19种选法，或者也可以从女生中选一人，有23种选法，因此共有19+23=42种不同的选法。（2）若要选一名男生和一名女生参加，可以先从男生中选一人，有19种，然后再从女生中选一人，有23种选法，因此共有1923=437种选法。《标准》要求能根据

4、具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题，这就要求学生弄清两个原理的联系与区别。分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是研究完成一件事，共有多少种方法，它们的区别在于完成的方式不同：分类加法计数原理是“分类”完成，任何一类办法中的任何一种方法都能独立完成这件事；分步乘法计数原理是“分步”完成，各个步骤相互依存，每个步骤都完成了，才能完成这件事。B级水平参考案例：8案例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现在栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽

5、种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种（以数字作答）案例解析：第1部分与其它部分都相邻，因此第一步先种第1部分有四种不同种法；第二步，把其余5部分分成3组，有2、35、46，3、25、46，24、36、5，24、35、6，25、36、4共5类分法，每一类有种不同的种法，根据分类加法计数原理共有++++=种不同种植方法。.这道题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理的运用以及分析解决问题的能力。要注意分步与分类不是绝对的，有时“类”中有“步”，有时“步”中有“类”，要结合具体问题认真体会思考。（1）排列与

6、组合A级水平参考案例：案例3.3位老师与4位学生站成一排合影留念（1）共有多少种不同的排队方法？（2）若同学甲不能站在两端，有多少种不同的排队方法？（3）若同学甲不站左端，同学乙不站右端，有多少种不同的排队方法？（4）若3位老师站在正中间，有多少种不同的排队方法？（5）若3位老师都不相邻，有多少种不同的排队方法？案例解析：这类排队问题，可看成7个元素占据7个位置，即只要把7个元素依次排入7个位置，就是完成了一件事，其中位置：元素：甲、乙、丙…（1）7个人站成一排，与顺序有关，可认为是分步完成的，即共有==5040

7、种不同的排列方法；（2）同学甲不站两端，从元素的观点来看，同学甲是特殊元素；从位置的观点来看，第1位和第7位是特殊位置。按照特殊优先的原则及逆向思维，有下面的解法1、解法2和解法3。解法1从有限条件的特殊位置入手（即位置分析法），分步完成。第一步，先排第1位和第7位，从除甲以外的其余6个人中任选2人排人，有种排法；第二步，再把余下的5人排入中间的五个位置，有种排法。根据分步乘法计数原理，共有=3600种不同的方法。8解法2从有限条件的特殊元素入手（即元素分析法），分步完成。第一步，先排甲，甲只能站除第1位和第7位

8、之外的其余5个位置，有5种排法；第二步，再把余下的6人排人剩下的6个位置，有种排法。根据分步乘法计数原理，共有5=3600种不同的方法。解法3还可以用逆向思考的方法（排除法）。7个人站成一排，共有种不同的排列，甲站在左端或右端的方法种数为2，所以共有-2=3600种不同的方法。以上三种方法也是解决排列的问题的最主要的方法，代表了两种基本的思路：正向思考与逆向思考。正向思考