【数学】江苏省泰州市姜堰区2015届高三上学期期中考试（理）

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1、2014～2015学年度第一学期期中考试高三数学试题一、填空题：1.已知集合，则▲．2.已知角的终边经过点，则的值是▲．3.若等差数列的前5项和，且，则▲．4.曲线在点（1，2）处的切线方程是▲．【答案】【解析】试题分析：因为，所以根据导数几何意义得：，切线方程是【考点】导数几何意义175.将函数的图象上每一点向右平移个单位，得函数的图象，则=▲．6.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则线段的长度为▲.7.不等式的解集为▲.8.已知，且，则的值为▲．【答案】【解析】179.在中，“”是“”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既

2、不充分也不必要”之一）10.如图，已知正方形的边长为3，为的中点，与交于点，则▲．【答案】【解析】试题分析：由相似三角形得：,所以【考点】向量数量积1711.设，已知在约束条件下，目标函数的最大值为，则实数的值为▲.12.已知等比数列的首项，其前四项恰是方程的四个根，则▲.13.已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是▲．【答案】【解析】试题分析：设，为圆心到直线AB的距离，则由题意得：，因为，所以，即17【考点】直线与圆位置关系14.已知两条平行直线：和：（这里），且直线与函数的图像从左至右相交于点A、B，直线与

3、函数的图像从左至右相交于C、D．若记线段和在x轴上的投影长度分别为a、b，则当变化时，的最小值为▲．二、解答题15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值．1716.设，函数．（Ⅰ）已知是的导函数，且为奇函数，求的值；（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求函数的单调递增区间。171717.某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一条直

4、线交于，从而得到五边形的市民健身广场．（Ⅰ）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ），最大面积为．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得：五边形的面积等于矩形ABCD面积减去直角三角形AMN面积，矩形ABCD面积为2400，关键求直角三角形AMN面积，这利用相似三角形性质：作GH⊥EF，垂足为H，从而有1718.已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、．（Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标；（Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆

5、是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；17（Ⅲ）求线段长度的最小值．　（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：1719.若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得17成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）①（）（A）（B）（B）（A）得（）．1720

6、.已知函数，其中（Ⅰ）若，试判断函数的单调性，并说明理由；（Ⅱ）设函数，若对任意的，总存在唯一的实数，使得成立，试确定实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）减函数（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数研究函数单调性：先求导数，因为17因为，由于，且，17所以，从而函数为减函数。要使成立，只需成立，即成立即可.17由，得.故当时，恒成立.综上所述，.……………………………16分【考点】利用导数研究函数单调性，函数值域1717