【数学】上海市静安区市北中学2016届高三上学期期中考试（理）

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1、上海市市北中学2016届高三上学期期中考试数学试卷（理）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、已知集合，，若，则。2、计算。3、函数的反函数的定义域是。4、设为等差数列,若,则的值为。5、方程=的解为_____________。6、已知角的终边上的一点的坐标为,则角的最小正值为。7、若向量，满足，，，则向量和的夹角的大小为。8、设，且，则的取值范围是。9、函数（其中的图像如图所示，为了得到的图象，则需将的图象向右最少平移个长度单位。10、已知，若关于的方

2、程有实根，则的取值范围是。11、已知函数，，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是。12、已知函数与的图像相交于、两点。若动点满足10，则的轨迹方程为13、已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称。若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是。14、对于非空实数集，定义。设非空实数集。现给出以下命题：(1)、对于任意给定符合题设条件的集合必有(2)、对于任意给定符合题设条件的集合必有；(3)、对于任意给定符合题设条件的集合必有；(4)、对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数，使得对任意的，恒有．

3、以上命题正确的是。二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、“”是“直线和直线平行”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分也非必要条件16、若圆：与圆关于直线对称，则圆的方程是()A.B.C.D.17、设，则函数的图像大致形状是()18、如图,四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正10确的是()A、满足的点P必为B

4、C的中点B、满足的点P有且只有一个C、的最大值为3D、的最小值不存在三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19、（本题满分12分,其中第1小题5分，第二小题7分）已知过点的动直线与圆：相交于、两点，与直线：相交于.(1)、求证：当与垂直时，必过圆心；(2)、当时，求直线的方程。20、（本题满分14分,其中第1小题7分，第二小题7分）已知、、，为△的三个内角，向量，，且．(1)、求∠的大小；(2)、若，，求△的面积。21、（本题满分14分，其中第1小题小题6分，第2小题满分8分）如图：某

5、污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道10的接口是的中点，分别落在线段，上.已知米，米，记.(1)、试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；(2)、问：当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。22、（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题满分6分）已知等比数列的首项，数列前项和记为，前项积记为。(1)、若，求等比数列的公比；(2)、在(1)的条件下，判断

6、

7、与

8、

9、的大小；并求为何值时，取得最大值；(3)、在(1)的条件

10、下，证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为，则数列为等比数列。23、（本题满分18分.其中第1小题5分，第2小题6分，第3小题满分7分）已知函数常数）满足.(1)、求出的值，并就常数的不同取值讨论函数奇偶性；(2)、若在区间上单调递减，求的最小值；(3)、在(2)的条件下，当取最小值时，证明：恰有一个零点10且存在递增的正整数数列，使得成立。10参考答案一、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、（1）（4）二、选择题15、A16、A17

11、、B18、C三、解答题19、（本题满分12分,其中第1小题5分，第二小题7分）解：(1)、∵与垂直，且，∴，故直线方程为，即∵圆心坐标（0，3）满足直线方程，∴当与垂直时，必过圆心(2)、①当直线与轴垂直时,易知符合题意②当直线与轴不垂直时,设直线的方程为，即，∵，∴，则由，得,∴直线：.故直线的方程为或20、（本题满分14分,其中第1小题7分，第二小题7分）解：解：（1）由，可得·=0，　　　　　　　　　即·，又，所以，10即，又，∴，故．　　　　　　　　　（2）在△ABC中，由，　可得，即，故，∴．　　　　　　　21、（本题满分14分，其中第

12、1小题小题6分，第2小题满分8分）解：(1)，由于，，，(2)、=设则由于，所以在内单调递减，于是当时.的最小值米.答：当时，所铺设管道