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时间:2018-08-31
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1、函数单调性应用的四个层次函数的单调性是函数的重要性质之一,也是高中数学学习的一个难点,为了帮助同学们掌握这部分内容,我们可以从以下四个方面入手.一、正面应用——掌握规范的操作程序函数的定义是证明函数单调性最基本,最常用的方法.例1已知函数,求证:在区间上是减函数,在区间上为增函数.分析:二次函数的图象当时开口向上,显然在区间上是减函数,在区间上为增函数.证明:任取,,且,则,由题知,当时,,.又,.故在区间上是减函数.同理可证在区间上是增函数.二、逆向应用——培养逆向思维能力学会概念的逆向使用,对于培养同学们的逆向思维能力是大有好处的.例2设是定
2、义在(上的增函数,且满足.若,且,求实数的取值范围.解:因为且,所以,又,所以,再由可知,.又因为是定义在上的增函数,从而有,解得:.故所求实数的取值范围为.三、灵活应用——提高解决问题的能力由函数单调的定义易知,任何一个单调函数,在其单调区间上每一个自变量与函数值之间都是一一对应的.应用此性质解题是单调函数概念运用的一个重要方面.例3 给定函数.问在函数的图象上是否存在两个不同的点,使得过这两点的直线与轴平行,并证明你的结论.解:下面证明在上是增函数.任取,且.则因为,所以.所以,即:.所以 在上是增函数.从而对函数图象上任意两点,当时,一定有
3、.因此,在函数的图象上不存在两个不同的点,使得过这两点的直线与轴平行.四、构造应用,培养创造能力应用单调函数解题的创造性体现在:通过已知条件进行联想,从而发现或构造出单调函数,再利用函数的单调性解题.例4已知为实数,且满足,则.解:由已知条件,可得:.故若设,则上述条件即为:.又易知函数在上是增函数,所以由上式有:,即:.
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