数学归纳法的七种变式及其应用

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1、数学归纳法的七种变式及其应用摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法.关键词：数

2、学归纳法；七种变式；应用1引言归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等.数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题.2数学归纳法的变式及应用2

3、.1第一数学归纳法设是一个含有正整数的命题,如果满足：1）成立（即当时命题成立）；2）只要假设成立（归纳假设），由此就可证得也成立（是自然数），就能保证对于任意的自然数，命题都成立.通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为：设是一个含有正整数n的命题(，),如果1）当=时,成立；102）由成立必可推得成立,那么对所有正整数都成立.例1用数学归纳法证明.证明：（1）当时，左边=，右边=，因此等式成立.（2）假设时成立，即成立.当时，左边====右边因此，当时等式也成立.2.2第二数学归纳法设是一个含有正整

4、数的命题，如果：1）当=时,成立；2）由对所有适合的正整数成立的假定下，推得时命题也成立,那么对所有正整数都成立.例2利用数学归纳法证明第个质数证明：（1）当时，，命题成立.（2）设时命题成立，即，即，则.10所以的质因子.又都不是的质因子（相除时余1），故.即.因此，.即时命题也成立.综上（1）、（2）可知对于任何自然数命题都成立.2.3反向归纳法反向归纳法也叫倒推归纳法.相应的两个步骤如下：（1）对于无穷对个自然数，命题成立.（2）假设成立，可导出也成立.由（1）、（2）可以判定对于任意的自然数都成立.例3利用倒推归纳法证明.证明：（1）首先证明，当（为

5、自然数）时，不等式（2）成立.对施行归纳法.当时，即时，（已证）.当时，即时.因此时，不等式（2）都成立.设当时不等式（2）成立，那么当时=.由此可知，对于形状的自然数，不等式（2）是成立的.即对无穷多个自然数2，4，8，16，，不等式（2）是成立的.（2）下面再证倒推归纳法的第二步.10假设时，不等式（2）成立.只要导出时不等式（2）也成立就可以了.为证，设，即.由假设，.即由（1）、（2），对于任意的自然数，不等式（2）都成立.2.4二重归纳法设是一个含有两个独立正整数，的命题，如果（1）对任意正整数成立，对任意正整数成立；（2）在与成立的假设下，可以证

6、明成立.那么对任意正整数和都成立.例4设，都是正整数，则用数学归纳法证明不定方程的非负整数解的个数为证明：（1）当时，不定方程为显然，方程的非负整数解为，，，共有组，而按式计算，方程的非负整数解的组数为，所以对任意正整数都成立.当时，不定方程10为显然，此方程只有一组解，而由式可知，方程的非负整数解的组数为，因此对任意正整数成立.（1）假设结论对和成立,即假设不定方程的非负整数解的组数为，不定方程的非负整数解的组数为.现在来考虑不定方程的非负整数解的组数，该方程的非负整数解可分为两类：第一类当时，方程变为，所以方程满足的非负整数解的组数为.第二类当时，令，则

7、方程变为.方程与方程10实为同一方程，所以，方程满足的非负整数解的组数为.因此,方程的非负整数解的组数为这表明，命题成立.于是，由二重归纳法知，对任意正整数和，命题都成立.2.5螺旋式归纳法现有两个与自然数有关的命题，.如果满足是正确的.假设成立，能导出成立，假设成立，能导出成立.这样就能断定对于任意的自然数，和都正确.例5数列满足，其中是自然数，又令表示数列的前项之和，求证：（1）（2）证明：这里可把等式（1）：看作命题，把等式（2）：看作命题(为自然数).①时，，等式（1）成立.②假设时，等式（1）成立.即10那么=.即等式（2）也成立.这就是说，若成立

8、可导出成立.又假设成立，即.那么===.这就是说，若