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1、1-6 已知质点沿x轴作直线运动,其运动方程为,式中x的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点在运动开始后4.0s内的位移的大小；(2)质点在该时间内所通过的路程；(3)t＝4s时质点的速度和加速度．分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t时间内的位移Δx的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻tp,求出0～tp和tp～t内的位移大小Δx1、Δx2,则t时间内的路程,如图所示,至于t＝4.0
2、s时质点速度和加速度可用和两式计算．解 (1)质点在4.0s内位移的大小(2)由得知质点的换向时刻为(t＝0不合题意)则所以,质点在4.0s时间间隔内的路程为(3)t＝4.0s时1-7 一质点沿x轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示．设t＝0时,x＝0．试根据已知的v-t图,画出a-t图以及x-t图．分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a-t图上是平行于t轴的直线,由v-t图中求出各段的斜率,即可作出a-t图线．又由速
3、度的定义可知,x-t曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x-t图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t图为t的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝x(t),求出不同时刻t的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t图．解 将曲线分为AB、BC、CD三个过程,它们对应的加速度值分别为 (匀加速直线运动) (匀速直线运动) (匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的a-t图［图(B)］．在匀变速直线运动中,有由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x-t图．在2～4ｓ时间内,质
4、点是作的匀速直线运动,其x-t图是斜率k＝20的一段直线［图(c)］．1-9 质点的运动方程为式中x,y的单位为m,t的单位为ｓ．试求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向．分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1)速度的分量式为当t＝0时,vox＝-10m·ｓ-1,voy＝15m·ｓ-1,则初速度大小为设vo与x轴的夹角为α,则α＝123°41′(2)加速度的分量式为,则加速度的大小为设a与x轴的夹角为β,则β＝-33°41′(或326°19′)1-15 一质点具有恒定加速度a＝6i＋4j,式中a的单
5、位为m·ｓ-2．在t＝0时,其速度为零,位置矢量r0＝10mi．求：(1)在任意时刻的速度和位置矢量；(2)质点在Oxy平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即和,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．解 由加速度定义式,根据初始条件t0＝0时v0＝0,积分可得又由及初始条件t＝0时,r0＝(10m)i,积分可得由上述结果可得质点运动方程的分量式,
6、即x＝10＋3t2y＝2t2消去参数t,可得运动的轨迹方程3y＝2x-20m这是一个直线方程．直线斜率,α＝33°41′．轨迹如图所示．1-18 飞机以100m·ｓ-1的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1)此时目标在飞机正下方位置的前面多远？(2)投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3)物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？分析 物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同
7、的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx、vy求出,这样,也就可将重力加速度g的切向和法向分量求得．解 (1)取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x＝vt, y＝1/2gt2飞机水平飞行速度v＝100m·
