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1、2003年全国各地高考数学模拟试题选析三角函数(湖北省孝感高级中学试题研究小组组长:徐新斌执笔:代丽萍)一、高考回顾三角函数是高中数学的基础知识， 是高考考查的重点内容之一．高考主要考查三角函数的图象、性质，以及结合三角变换求三角函数值,以此为载体考查学生的灵活运用知识的能力和综合处理问题的能力,涉及的数学思想方法主要有数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想.从近三年的高考试题(新课程卷)看,三角函数的分值占总分的11%左右．年份理科文科性质图象应用性质图象应用2003年题号分值2,17
2、(1)5,1217(2)4,215,122002年题号分值5,175,125,14,185,4,122001年题号分值1,22(1)5,81,4,155,5,4 二、新题评析１．基础题注重考查三角函数的化简、求值，三角函数的图象、性质尤其是三角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性和最值．作为基础题，有些题是只需稍作变换即可作答的题，也有些题给出的函数式较为复杂，必须经过化简成基本函数之后才能解决有关的函数性质和图象变化情况．例１（南京市高三第二次质量检测）函数的部分图象是（ ）． y yox
3、oxABy yoxoxCD解：Ｃ．先考察函数，它是偶函数，关于ｙ轴对称，过点，把它的图象向右平移个单位，即得到的图象，因此它的图象应该关于对称，且经过点．符合这个条件的只有Ｃ．评析：根据图象的基本特征进行分析、作出判断，是近几年高考命题的一个趋势，也是能力立意的命题要求，应引起重视．对于此题，熟悉基本函数的图象是解题的关键，其次就是掌握对称变换和平移变换的变换规律．例２（天津市高中质量调查）函数是 （ ）Ａ．周期为的奇函数Ｂ．周期为的偶函数Ｃ．周期为的奇函数Ｄ．周期
4、为的偶函数解：Ｃ．原函数可化为 故选Ｃ．评析：本题考查了函数的奇偶性和周期性．利用降幂公式与对原函数式进行化简是本题的关键问题．对于这类问题，通常是通过变形、变换化为一个角的一个三角函数的形式后再来求解或判断．例３（天津市高中质量调查）已知，且，求的值．解：，， ．．评析：今年的模拟试题中，通过三角变换求值、化简、证明题较多．本题主要考查三角变换的角的变换，拆角与凑角是角的变换的常用手段．本题的关键在于发现目标角与已知角之间的关系：．通过这种变角，要求出的值，因此还必须判断角的
5、取值范围．例４（苏州市高三教学情况调查）设函数（１）写出函数的最小正周期及单调递增区间；（２）时，函数的最小值为２，求此时函数的最大值，并指出取何值时，函数取到最大值．解：（１） 由得故函数的单调区间为．（２），当时，原函数取最小值２，即，即时，取到最大值．评析：本题综合考查了函数的周期性、单调性与最值等问题．解决这类问题的通常方法是：先将已知函数式变形为形如的形式，然后分别利用求出最小正周期、利用基本函数的单调性求单调区间、在求最值问题时，应注意其定义的制约．例５（北京东城区第一次模拟考试）使
6、函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，然后再将其图象沿ｘ轴向左平移个单位，得到的曲线与相同．（１）求的表达式；（２）求的单调递减区间．解：（１）先将的图象向右平移得，即的图象．再将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的２倍，而纵坐标不变，得到的图象．则即为所求．（２）由得即的单调递减区间为．评析：本题考查了图象的变换，以及的单调区间的求法．解本题首先要弄清楚的是由哪个函数的图象变到哪个函数的图象，顺序颠倒变换方式正好相反．这里已知的是变换后的解析式，要得到原来的解析式，必须倒过来变换
7、．即．而单调区间由基本函数确定．１．综合题与近几年的高考题一样，模拟试题也很好地控制了试题的难度，通常是放在解答题的前两题的位置，属低、中档题．注重三角函数的图象和性质的灵活运用，或以三角知识为背景，考查学生运用数学知识和思想方法去综合分析、解决问题的能力，如有关数列、三角形、向量等题型．难度明显呈下降趋势． 例６对于函数，给出下列四个命题：①存在，使；②存在，使恒成立；③存在，使函数的图象关于ｙ轴对称；④函数的图象关于点对称．其中正确命题的序号是 ．解：①③④．①，，而，故存在，使
8、．②的周期为．若存在，使恒成立，则是它的周期，，，这与相矛盾．③取，则 这是一个偶函数，它关于ｙ轴对称．④点是与ｘ轴的交点，故 函数的图象关于点对称．评析：本题考查了函数的值域、周期、奇偶性、点对称和轴对称等多种情况，是一个简单的探索性问题，只有熟练掌握了函数的图象特征及性质，才能作出正确的解答．例７（湖北省黄冈市高三模拟考试一）关于x的方程的两根为、，且．若数列，的前100项和为0，求的值．解：，而数列的首项为１，由等比数列的前ｎ项和公式得又评析：本题以数列为载体，考查三角函数知识的综合运用能
