工程数学 习题七、九、十、十一解答

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1、习题七解答1.设的分布律为，X-1012概率求（1），（2），（3），（4）。解由随机变量X的分布律，得X-1012-X+1210-1X21014P所以另外，也可根据数学期望的性质可得：2.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知，求的值。解3.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求的数学期望。解所以故4.国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万

2、美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解设随机变量Y表示平均收益（单位：万元），进货量为吨Y=则要使得平均收益最大，所以得（吨）5.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望和方差。解X的可能取值为0，1，2，3，有所以X的分布律为X0123Pr0.5040.3980.0920.0066.设X的密度函数为，求（1）；（2）。解（1）（2）注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时

3、化简为可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。7.某商店经销商品的利润率的密度函数为，求,。解（1）（2）故8.设随机变量X的密度函数为0求、、、。解9.设随机变量的联合分布律为XY0100.30.210.40.1求、、、、、、、。解关于X与Y的边缘分布律分别为：X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.310.设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为求。解，所以，，所以，X,Y相互独立，所以。11.设服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线所围成的区域，求（1）；（2）；（3）的值。y

4、0x解先画出A区域的图-1xAy-1-1-y20其他0其他0其他12.设随机变量的联合密度函数为0其他求。y101x解先画出区域的图G0其他0其他13.设随机变量X,Y相互独立，且，求。解14.设，求（1）；（2）。解：（1）（2）15.设随机变量相互独立，，，求。解16.验证：当为二维连续型随机变量时，按公式及按公式算得的值相等。这里，、依次表示的分布密度。证明17.设的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计的值。解18.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不

5、等式估计的值。解所以21.在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。解设死亡人数为，保险公司亏本当且仅当，即。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为习题九解答1.设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。解2.设是来自上的均匀分布的样本，未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（3）

6、设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。解（1）0其他（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。（3）样本均值样本方差样本标准差。3.查表求，，，。解，，，。4.设，求常数，使。解由t分布关于纵轴对称，所以即为。由附表5.6可查得，所以。5.设是来自正态总体的样本，试证：（1）；（2）。证明：（1）独立同分布于，由分布的定义，，即。（2）易见，，即，由分布的定义，，即。6.设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。（1）试给出常数

7、，使得服从分布，并指出它的自由度；（2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。解（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。（2）由于，则。又，与相互独立，则即即，自由度为3。7.设是取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（1）；（2）；（3），其中。解（1）（2）（3），其中8.某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；（2）样本中19%和2

8、1%之间的人受过高等教育的概率。解（1）引入新变量：1，第个样本居民年收入超过1万0，第个样本居民年收入没超过1万其中易见：又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即，所求概率即为（2）同（1）解法引入新变量：1，第个样本居民受过高等教育0，第个样本居民未受过高等教育其中答：（1