圆锥曲线与方程中的数学方法和技巧

圆锥曲线与方程中的数学方法和技巧

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时间:2017-11-13

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1、圆锥曲线与方程中的数学方法和技巧一、要掌握解析几何的基本方法———坐标法  求曲线的方程是解析几何的两大任务之一,要使求出的曲线方程简单优美,更容易研究性质,选择恰当的坐标系是关键.课本中圆锥曲线的标准方程都是在选定恰当的坐标系下求出的,它们的形式都特别简单.因此选择恰当的坐标系是简化曲线方程形式的关键.  例1 已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2m时,测得水面宽8m,当水面升高1m后,求水面的宽度.  解:如图1,以C为坐标原点,以与平行的直线为x轴,建立直角坐标系.抛物线的方程可设为.  在抛物线上,  ,.  

2、抛物线的方程为,得.  水面的宽度为.  点评:本题也可以以AB所在直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,但此种解法较繁琐,所以一般地,根据标准方程的图象性质建系,所得方程简单.  二、要重视求曲线方程的常用方法———直接法、定义法、相关点法、待定系数法等  1.直接法是求轨迹方程的基本方法,直接利用题设条件建立x,y之间的关系即可.  例2 已知直角坐标系内点和圆,动点到圆的切线长与的比等于常数.求动点的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?  解:如图2,设切点为,  则,  设,则,  .  整理,得

3、,  当,即时,  方程化为,它表示一条平行于轴的直线;  当,即且时,  方程化为,  它表示圆心为,半径为的圆.  2.定义法是指利用圆锥曲线的定义来解题.特别地,当思路受阻或解法较繁琐时,回归定义,常能起到打通思路,简化计算的作用.  例3 已知,椭圆过两点,且以点为其中一个焦点,求椭圆另一个焦点的轨迹方程.  解:设另一焦点为,,且,  ,,  点的轨迹是以为焦点,实轴长为2,焦距为14的双曲线的左支.  故点的轨迹方程为.  3.相关点法又称代入法,其特点是动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标,可先用表示

4、,再代入曲线的方程,即得点的轨迹方程.  例4 已知点是椭圆上的任意一点,为线段上一点,且,求点的轨迹方程.  解:设,则,,  ,.  代入,得.  点的轨迹方程为.  4.待定系数法是指在已知曲线类型的前提下,先设出曲线的方程再去求解的方法.  例5 求焦点在坐标轴上,且经过和两点的椭圆的标准方程.  解:椭圆的方程可设为.  椭圆经过和两点,  解得.  所求椭圆的标准方程为.  点评:如果圆锥曲线的焦点位置不确定,就会很自然地想到分情况进行讨论,但本题如果分焦点在x轴,焦点在y轴两种情况讨论则比较繁琐,而上

5、述解法避免了讨论.因为若,则椭圆的焦点在x轴上,若,则椭圆的焦点在y轴上.概括了应讨论的两种情况,可见,使用待定系数法解题时,根据题设条件,恰当地选取待定系数是关键.

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