圆锥曲线与方程中的数学方法和技巧

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1、圆锥曲线与方程中的数学方法和技巧一、要掌握解析几何的基本方法———坐标法　　求曲线的方程是解析几何的两大任务之一，要使求出的曲线方程简单优美，更容易研究性质，选择恰当的坐标系是关键．课本中圆锥曲线的标准方程都是在选定恰当的坐标系下求出的，它们的形式都特别简单．因此选择恰当的坐标系是简化曲线方程形式的关键．　　例１　已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2m时，测得水面宽8m，当水面升高1m后，求水面的宽度．　　解：如图１，以Ｃ为坐标原点，以与平行的直线为x轴，建立直角坐标系．抛物线的方程可设为．　　在抛物线上，　　，．　　抛物线的方程为，得．　　水面的宽度为．　　点评：本题也可以以AB所在直线为x轴

2、，以AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，但此种解法较繁琐，所以一般地，根据标准方程的图象性质建系，所得方程简单．　　二、要重视求曲线方程的常用方法———直接法、定义法、相关点法、待定系数法等　　1．直接法是求轨迹方程的基本方法，直接利用题设条件建立x，y之间的关系即可．　　例2　已知直角坐标系内点和圆，动点到圆的切线长与的比等于常数．求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？　　解：如图2，设切点为，　　则，　　设，则，　　．　　整理，得，　　当，即时，　　方程化为，它表示一条平行于轴的直线；　　当，即且时，　　方程化为，　　它表示圆心为，半径为的圆．　　2．定义法是指利用圆锥曲线的定义来解

3、题．特别地，当思路受阻或解法较繁琐时，回归定义，常能起到打通思路，简化计算的作用．　　例3　已知，椭圆过两点，且以点为其中一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．　　解：设另一焦点为，，且，　　，，　　点的轨迹是以为焦点，实轴长为2，焦距为14的双曲线的左支．　　故点的轨迹方程为．　　3．相关点法又称代入法，其特点是动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标，可先用表示，再代入曲线的方程，即得点的轨迹方程．　　例4　已知点是椭圆上的任意一点，为线段上一点，且，求点的轨迹方程．　　解：设，则，，　　，．　　代入，得．　　点的轨迹方程为．　　4．待定系数法是指在已知曲线类型的前提下，先设出曲线的方程再去

4、求解的方法．　　例5　求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程．　　解：椭圆的方程可设为．　　椭圆经过和两点，　　解得．　　所求椭圆的标准方程为．　　点评：如果圆锥曲线的焦点位置不确定，就会很自然地想到分情况进行讨论，但本题如果分焦点在x轴，焦点在y轴两种情况讨论则比较繁琐，而上述解法避免了讨论．因为若，则椭圆的焦点在x轴上，若，则椭圆的焦点在y轴上．概括了应讨论的两种情况，可见，使用待定系数法解题时，根据题设条件，恰当地选取待定系数是关键．