第二章 谓词逻辑 1.原子命题的内部结构

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1、第二章谓词逻辑一、原子命题的内部结构12．谓词逻辑·谓词和个体词·量词、全称量词和存在量词·个体域·量词的辖域·自由个体变项和约束个体变项·一阶谓词逻辑什么是谓词逻辑在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。例如：推理1：所有的人都是要死的。苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。推理1包括三个不同的原子命题，经过相应的

2、设定后，它的真值形式是。这不是一个重言式。因此，这个显然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。这是因为，推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理，如推理1这样的三段论。但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。例如：推理2：所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。有些罪犯不是故意犯罪。因此，有些罪犯是过失犯罪。这个有效性同样明显的推理的判定，

3、命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。为了更为有效和尽量不失—般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进—步分析原子命题的内部结构。这就是谓词逻辑的任务。在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。谓词和个体词我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。(1)这张桌子是方的。(2)陈先生是贾女土的丈夫。显然，以上两个命题都是原子命题。在(1)中，今F(x)表示“x是方的”，a表示“这张桌子”，这样，F(a)就表示“这张桌子是

4、方的”，也就是说，命题(1)的表达式是F(a)。这里，F就是谓词，表示“方”这种性质；x和a就是个体词，表示具有“方”这种性质的个体。其中，x称为个体变项，它只表示某一个个体，而不表示一个确定的个体；a称为个体常项，它表示一个确定的个体，即这张桌子。在(2)中，令H(x，y)表示“x是y的丈夫”，a表示陈先生，b表示贾女士，这样，H(a，b)就表示“陈先生是贾女士的丈夫”，也就是说，命题(2)的表达式是H(a，b)。这里，H是谓词，表示某人是某人的丈夫”这种关系，x、y和a、b是个体词，同样，x和y是个体变项，a和b是个体常项。刻画一个

5、个体的性质的谓词称为一元谓词，刻画两个个体之间的关系的谓词称为二元谓词，一般地，刻画n个个体之间的关系的谓词称为n元谓词。显然，谓词不能脱离个体词而独立存在。如果一个谓词符号表示的是一个具体谓词，即表示某种确定的性质或关系，则称为谓词常项；如果表示的是某个不确定的谓词，则称为谓词变项。相应地，个体词也分为个体常项和个体变项，已如上述。约定：以大写英文字母F、G、H…表示谓词常项或谓词变项，以小写字母a、b、c、d…表示个体常项，以小写字母x、y、z、u、v、w…表示个体变项。一般地，如果F是n元谓词，则它的表达式也可记为F()。其中，称

6、为谓词F的主目。量词、全称量词和存在量词一个包含个体变项的谓词表达式不是命题。例如，上面的例句(1)中F(x)断定“x是方的”，但由于x是个体变项，因而F(x)没有真假，不是命题。如何使F(x)这样没有真假的表达式变为有真假的命题呢?有两种方法：第一种方法，用个体常项取代个体变项，例如，令a表示“这张桌子”，则F(a)就表示“这张桌子是方的”，这是命题，有真假。这种方法称为解释。后而将对此作进一步讨论。第二种方法，对个体变项进行量化。例如，对F(x)我们进一步断定，对所有的x来说，F(x)成立；或者断定，至少存在一个x，F(x)成立。也

7、就是断定所有的个体都是方的，或者断定至少存在一个个体是方的。这样的断定就是命题，它们有真假。在量化的过程中，我们使用了量词。量词分为全称量词和存在量词。全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系；存在量词断定存在(即至少有一个)个体具有相关谓词所表示的性质或关系。表示全称量词，表示存在量词。xF(x)表示“任一x具有F这种性质”。xF(x)表示“存在x具有F这种性质”。xyG(x，y)表示“任一x和任一y具有关系G”。xyG(x，y)表示“对任一x，存在y，x和y具有关系G”。xyG(x，y)表示“存在x，对任一y，x和y具

8、有关系G”。xyG(x，y)表示“存在x，并且存在y，x和y具有关系G”。例如，令x和y表示自然数，即个体变项的取值范围是自然数，F(x)表示“x是偶数”，G(x，y)表示“x＞y”，则：xF(x)断定“任