全国初中数学竞赛辅导-初三自测题解答

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1、自测题解答自测题一又由题设知     所以m=19.  2.因为ax≥-3的正整数解只有1,2,3,所以a<0,x≤  3.消去y,得2x2-5x+1-0,所以    所以       4.由题设有        构造辅助函数f(x)=x(1-x)2,只需证fA.=fB.=fC..因为   (x-a)(x-b)(x-c)     =x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc     =x3-2x2+x-abc=f(x)-abc,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)+abc.令x=a,b,c,得fA.=fB.=fC.,从而a(1-a)2=b(1

2、-b)2=c(1-c)2=abc.  5.由AC=24,BC=10,AB=26,可得AC2+BC2=AB2,所以∠C=90°,即△ABC为直角三角形.\    设I为△ABC内心,过I向△ABC三边作垂线,垂足分别为D,E,F(如图3-228).由切线长定理可得因为∠IDC=∠C=∠IEC=90°,且ID=IE,所以四边形IDCE为正方形,所以内切圆半径=IE=CE=4.    6.如图3-229.连结OD,因为AD切⊙O于D,所以OD⊥AD.又因为DE⊥AO,所以△ADE∽△AOD,所以又因为AD2=AB·AC,所以           所以  △ABE∽△AO

3、C,所以   ∠AEB=∠ACO.  7.如图3-230.由于DE∥BC,HI∥AB,FG∥AC,所以四边形DBHP和PFCE为平行四边形,所以DP=BH,PE=FC.又     而     所以   90°.又因为DE⊥AB,所以DE2=AE·EB.①又由于CD是切线,所以∠CDA=∠ABD,而∠DBA=∠ADE,所以∠CDA=∠ADE,所以△ADC≌△AED,所以AE=AC,②CD=DE.又因为∠CFD=∠DBE,所以△CFD≌△EDB,所以FC=EB.③由①,②,③得DE2=AC·FC.   9.设铁路与公路的交接点为C,AC=x,BC=y.BD⊥AD于D,

4、BD=m,AD=n(图3-232),则依题意求x+2y的最小值,用S表示.     所以      即     3y2-4(S-n)y+(S-n)2+m2=0,      要求S的最小值,只要求S-n的最小值.因为y有实数解,所以  所以    可见,不管AD多长,从B点修筑的公路应与铁路线成60°角.  注意如果保持∠BCD=60°,但C点不在AD之间时,所得之解显然不适用.这时,直接由B到A筑一条公路而不用铁路会更省.自测题二   1.由题设可得         解得a+b+c=1,a-b=1.把这两个式子相加得2a+c=2.或由已知二式相加得4(a+b+c)

5、=4,从而a+b+c=1.代入已知条件3a+b+2c=3中,即得2a+c=2.  2.设84=m+(m+1)+…+(m+k)(m,k为正整数),则即   (k+1)(k+2m)=168.k+1和k+2m是奇偶性不同、大小不等的两个正整数,且k+1<k+2m.由于168=3×56=7×24=8×21,所以我们得出以下三个方程组:解得     于是有84=27+28+29,84=9+10+11+12+13+14+15,84=7+8+9+10+11+12+13+14.  综上所述,84能够表示成若干个连续正整数的和,表示方法共三种,如上所示.   3.(1)如图3-23

6、3.连UP,在△ARQ与△BUP中,因为∠ARQ=∠UBP,又因为AR=TS=BU,RQ=BP,所以△ARQ≌△UBP,所以∠BUP=∠RAQ,UP∥AC.所以过U引AC的平行线必过P点.  (2)由于UT=PC,PQ=AU,RS=QC,RQ=BP,ST=BU,PU=AQ,所以折线PQRSTUP=a+b+c.   4.连PA,PB(图3-234),在△APN与△BPS中,∠PNA=∠PSB=90°,∠NAP=∠PBS,所以   △PNA∽△PBS,所以PS2=PN·PM.  整数,矛盾.因此,不存在两个既约分数,它们的和与它们的乘积均为整数.  6.设α,β是二次

7、方程px2-qx+r=0的两个根,α≠β,0<α<1,0<β<1,我们有  所以     p2>16r(p-q+r).①又因为f(x)=px2-qx+r的二次项系数p>0,且它的两个根在(0,1)内,故f(1)=p-q+r>0,r(p-q+r)>0.由于p,q,r均为正整数,故r(p-q+r)≥1.从①式便得p2>16r(p-q+r)≥16,所以p>4,即p≥5.又当p=5时,二次方程5x2-5x+1=0的两根   7.如图3-235.作RS∥PQ交⊙O于S,连结PO并延长PO交RS于M.因为l切⊙O于P,所以PO⊥l.又因为RS∥l,所以PO⊥RS于M,所以M为

8、RS中点.

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