全国初中数学竞赛辅导-初三自测题解答

《全国初中数学竞赛辅导-初三自测题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、自测题解答自测题一又由题设知　　　　　所以m=19．　　2．因为ax≥-3的正整数解只有1，2，3，所以a＜0，x≤　　3．消去y，得2x2-5x+1-0，所以　　　　所以　　　　　　　4．由题设有　　　　　　　　构造辅助函数f(x)=x(1-x)2，只需证fA．=fB．=fC．．因为　　　(x-a)(x-b)(x-c)　　　　　=x3-(a＋b＋c)x2＋(ab+bc＋ca)x-abc　　　　　=x3-2x2＋x-abc=f(x)-abc，所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)＋abc．令x=a，b，c，得fA．=fB．=fC．，从而a(1-a)2=b(1

2、-b)2=c(1-c)2=abc．　　5．由AC=24，BC=10，AB=26，可得AC2+BC2=AB2，所以∠C=90°，即△ABC为直角三角形．＼　　　　设I为△ABC内心，过I向△ABC三边作垂线，垂足分别为D，E，F(如图3－228)．由切线长定理可得因为∠IDC=∠C=∠IEC=90°，且ID=IE，所以四边形IDCE为正方形，所以内切圆半径=IE=CE=4．　　　　6．如图3－229．连结OD，因为AD切⊙O于D，所以OD⊥AD．又因为DE⊥AO，所以△ADE∽△AOD，所以又因为AD2=AB·AC，所以　　　　　　　　　　　所以　　△ABE∽△AO

3、C，所以　　　∠AEB=∠ACO．　　7．如图3－230．由于DE∥BC，HI∥AB，FG∥AC，所以四边形DBHP和PFCE为平行四边形，所以DP=BH，PE=FC．又　　　　　而　　　　　所以　　　90°．又因为DE⊥AB，所以DE2=AE·EB．①又由于CD是切线，所以∠CDA=∠ABD，而∠DBA=∠ADE，所以∠CDA=∠ADE，所以△ADC≌△AED，所以AE=AC，②CD=DE．又因为∠CFD=∠DBE，所以△CFD≌△EDB，所以FC=EB．③由①，②，③得DE2=AC·FC．　　　9．设铁路与公路的交接点为C，AC=x，BC=y．BD⊥AD于D，

4、BD=m，AD=n(图3－232)，则依题意求x＋2y的最小值，用S表示．　　　　　所以　　　　　　即　　　　　3y2-4(S-n)y+(S-n)2+m2=0，　　　　　　要求S的最小值，只要求S-n的最小值．因为y有实数解，所以　　所以　　　　可见，不管AD多长，从B点修筑的公路应与铁路线成60°角．　　注意如果保持∠BCD=60°，但C点不在AD之间时，所得之解显然不适用．这时，直接由B到A筑一条公路而不用铁路会更省．自测题二　　　1．由题设可得　　　　　　　　　解得a＋b+c=1，a-b=1．把这两个式子相加得2a+c=2．或由已知二式相加得4(a＋b+c)

5、=4，从而a＋b+c=1．代入已知条件3a＋b+2c=3中，即得2a＋c=2．　　2．设84=m＋(m+1)+…+(m+k)(m，k为正整数)，则即　　　(k＋1)(k+2m)=168．k+1和k＋2m是奇偶性不同、大小不等的两个正整数，且k＋1＜k＋2m．由于168＝3×56＝7×24＝8×21，所以我们得出以下三个方程组：解得　　　　　于是有84=27＋28＋29，84=9+10+11+12＋13+14+15，84=7+8+9+10+11+12+13＋14．　　综上所述，84能够表示成若干个连续正整数的和，表示方法共三种，如上所示．　　　3．(1)如图3－23

6、3．连UP，在△ARQ与△BUP中，因为∠ARQ=∠UBP，又因为AR=TS=BU，RQ=BP，所以△ARQ≌△UBP，所以∠BUP=∠RAQ，UP∥AC．所以过U引AC的平行线必过P点．　　(2)由于UT=PC，PQ=AU，RS=QC，RQ=BP，ST=BU，PU=AQ，所以折线PQRSTUP=a＋b＋c．　　　4．连PA，PB(图3－234)，在△APN与△BPS中，∠PNA＝∠PSB＝90°，∠NAP=∠PBS，所以　　　△PNA∽△PBS，所以PS2=PN·PM．　　整数，矛盾．因此，不存在两个既约分数，它们的和与它们的乘积均为整数．　　6．设α，β是二次

7、方程px2-qx＋r=0的两个根，α≠β，0＜α＜1，0＜β＜1，我们有　　所以　　　　　p2＞16r(p-q+r)．①又因为f(x)=px2-qx+r的二次项系数p＞0，且它的两个根在(0，1)内，故f(1)=p-q＋r＞0，r(p-q＋r)＞0．由于p，q，r均为正整数，故r(p-q+r)≥1．从①式便得p2＞16r(p-q＋r)≥16，所以p＞4，即p≥5．又当p=5时，二次方程5x2-5x＋1=0的两根　　　7．如图3－235．作RS∥PQ交⊙O于S，连结PO并延长PO交RS于M．因为l切⊙O于P，所以PO⊥l．又因为RS∥l，所以PO⊥RS于M，所以M为

8、RS中点．